Taylorreihen und Konvergenzradien

13.12.2018, 18:24	nnd	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihen und Konvergenzradien Hallo zusammen, ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter: Es sei p(x)=x^5-5x^4-10x^2+5x-1. Bestimmen sie die Taylor Reihe von p in den Entwicklungspunkten x0=0 und x0=1 und ermitteln sie die dazugehörigen Konvergenzradien. Begründen sie ihre Antworten. Diese Aufgabe ist ohne Rechenaufwand zu lösen; beachten sie die Definition und Eigenschaften einer Taylorreihe. Worauf ich bisher gekommen bin: ich sehe in p(x) eine Binom Formel was man mit (x-1)^5 gleichsetzen kann. --> Für die Maclaurinreihe mit x0=0, dass die Reihe gleich p(x) rückwärts sein muss. Für die Reihe mit x0=1 muss eine konstante Zahl rauskommen und zwar die der vorletzten Ableitung, da in allen Fällen davor die Klammer (x-1)^5-n der Ableitung=0 ist. Wäre dankbar über einen Tipp wie man zum Ziel kommt, da ich dennoch alles rechnerisch machen würde und sonst keine weiteren Ideen habe.
13.12.2018, 22:25	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du die Funktion richtig hingeschrieben? Falls das wirklich, wie du sagst, gleich $\begin{eqnarray} (x-1)^5 \end{eqnarray}$ sein soll, müsste es $\begin{eqnarray} p(x)=x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1 \end{eqnarray}$ heißen. Falls du also letzteres meintest, wären die beiden Taylorreihen richtig. Ob man die Summanden nun "vorwärts" oder "rückwärts" hinschreibt, ist relativ egal. Und beim Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ brauchst du dir nicht mal Gedanken über die Ableitung machen: $\begin{eqnarray} (x-1)^5 \end{eqnarray}$ hat schon die Form einer Taylorreihe mit Entwicklungspunkt 1. Und weil Taylorreihen eindeutig sind, muss $\begin{eqnarray} (x-1)^5 \end{eqnarray}$ die Taylorreihe sein. Zum Konvergenzradius: Von deinen Taylorreihen sind jeweils nur endlich viele Summanden (6 bzw. 1) ungleich 0. Wenn du dir die Definition des Konvergenzradius anschaust, sollte eigentlich ziemlich schnell klar werden, wie groß die Konvergenzradien sind.
16.12.2018, 20:44	nnd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe jetzt, dass meine Taylorreihe, die für beide Entwicklungspunkte gleich ist? , dass für x<2 die Reihe konvergiert. Aber ich habe doch keine 2 Grenzen von deren Mitte ich aus den Konvergenzradius ablesen kann.

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