Wahrscheinlichkeit eines Erwartungswertes bei Normalverteilung

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Gertrut Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit eines Erwartungswertes bei Normalverteilung
Meine Frage:
Ich habe gelesen, dass die Wahrscheinlichkeit des Erwartungswertes einer (Standard?) Normalverteilung gleich Null ist.

Wie kann man das beispielhaft verstehen?


Intuitiv hätte ich gedacht, dass ein Erwartungswert nie eine Wahrscheinlichkeit von Null hat - denn wieso heißt er dann "Erwartungs"wert ?

Man erwartet doch nicht etwas dessen Wahrscheinlichkeit Null ist.


Könnt ihr mich aufklären ? :-)

Liebe Grüße an das Forum

Meine Ideen:
Persönlich hätte ich die Wahrscheinlichkeit eines jeden Erwartungswertes mit 1 definiert.

Warum?
- weil der Erwartungswert ergibt sich ja bei abermaliger Wiederholung eines Experiments als Durchschnitt der
Ergebnisse & je öfter man dieses Experiment wiederholt, umso wahrscheinlicher tritt der Erwartungswert im
Durchschnitt auf

???
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit eines Erwartungswertes bei Normalverteilung
Es geht darum, dass der Erwartungswert exakt getroffen wird, also wirklich auf die hundertste Kommastelle und darüber hinaus. Und diese Wahrscheinlichkeit ist nun mal Null.

Viele Grüße
Steffen
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

der Erwartungswert ist keine Wahrscheinlichkeit.
Er muss nicht Element der Ergebnismenge sein.

Ein Spielwürfel hat den Erwartungswert 3.5 !
Gertrut Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen das Objekt des Werfens besteht nur aus 5 möglichen Ereignissen die gleichwahrscheinlich eintreten können.

Augenzahl=1, Augenzahl=2, Augenzahl=3, Augenzahl=4 und Augenzahl=5

Dann ist der Erwartungswert folglich 3.


Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt nun dieser Erwartungswert auf ? (Unter der Bedingung des abermaligen Wiederholens des Experimentes)


Liebe Grüße
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

0,2, aber was hat das mit Deiner ursprünglichen Frage zu tun?
Gertrut Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, dass die Wahrscheinlichkeit des Erwartungswertes z.B. bei einer Normalverteilung Null ist, leuchtet mir nun ein. Weil die Normalverteilung eben eine stetige Verteilung ist und die Wahrcheinlichkeit das ein ganz bestimmtes Ereignis exakt auftritt eben Null ist, richtig?


Angenommen eine Maschine A benötigt im Mittel, während einer 8-Stunden-Schicht, eine Wartung.


Dann ist der Erwartungswert eben "eine Wartung"

Jetzt meine eigentliche Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dieser Erwartungswert nun auf?
Ist diese Frage überhaupt legitim bzw. macht diese Sinn ? Wenn nein warum nicht?

Vielen Dank

Gertrut
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gertrut
Angenommen eine Maschine A benötigt im Mittel, während einer 8-Stunden-Schicht, eine Wartung.

Dann ist der Erwartungswert eben "eine Wartung"

Jetzt meine eigentliche Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dieser Erwartungswert nun auf?
Ist diese Frage überhaupt legitim bzw. macht diese Sinn ?

Klar ist die Frage legitim, allerdings kann man das von dir gewünschte mit den spärlichen Informationen nicht berechnen:

Wenn beispielsweise mit den Wahrscheinlichkeiten 0.3 keine Wartung, 0.4 eine Wartung und 0.3 zwei Wartungen auftreten, dann ist das im Mittel genaue eine Wartung.

Genausoso hat man aber bei der Verteilung "0.4 keine Wartung, 0.3 eine Wartung, 0.2 zwei Wartungen und 0.1 drei Wartungen" im Mittel genaue eine Wartung.

Und das sind nur zwei Beispiele - es ist tatsächlich für jeden Wahrscheinlichkeitswert zwischen 0 und 1 für eine Wartung eine Verteilung konstruierbar mit Erwartungswert 1. Augenzwinkern

----------------------------

Was nicht legitim ist, die Erwartungshaltung ( Augenzwinkern ) an den Erwartungswert zu haben, er muss irgendwie der "wahrscheinlichste" Wert der Verteilung sein. (*)
Was bei stetigen Verteilungen sowieso absurd ist, trifft auch bei diskreten Beispieln nicht zu, siehe das Würfelbeispiel von Dopap.

Wenn man sowas wie (*) sucht, ist man beim Modalwert besser aufgehoben.
Gertrut Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Beantwortung.

Der Modus war ein gutes Stichwort zum besseren Verständnis für mich.

Kann man folgendes so bejahen?

Angenommen es gibt ein Spiel mit folgenden Losen: 1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
Es wird zufällig ein Gewinnlos bestimmt vom Verkäufer
Man gewinnt, wenn man sich für diejenige Zahl entscheidet, die das Gewinnlos ist.

--> Lösung des Spiels: entscheide dich für den Modus, also die 1


Angenommen es gibt ein zweites Spiel mit folgenden Losen wie oben:
Es wird zufällig ein Gewinnlos bestimmt vom Verkäufer
Man gewinnt, wenn man sich für diejenige Zahl entscheidet, die dem Gewinnlos am nächsten ist:

--> Lösung des Spiels: entscheide dich für den Erwartungswert, also 9


Korrekt ?
Gertrut Auf diesen Beitrag antworten »

Anmerkung zur 3. letzten Zeile von unten:


*Man gewinnt, wenn man sich für diejenige Zahl entscheidet, die dem Wert des Gewinnloses am nächsten ist:
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gertrut
Angenommen es gibt ein Spiel mit folgenden Losen: 1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
Es wird zufällig ein Gewinnlos bestimmt vom Verkäufer
Man gewinnt, wenn man sich für diejenige Zahl entscheidet, die das Gewinnlos ist.

--> Lösung des Spiels: entscheide dich für den Modus, also die 1

Richtig, da hat man Gewinnwahrscheinlichkeit , für die anderen Zahlen nur jeweils .

Zitat:
Original von Gertrut
Es wird zufällig ein Gewinnlos bestimmt vom Verkäufer
Man gewinnt, wenn man sich für diejenige Zahl entscheidet, die dem Gewinnlos am nächsten ist:

--> Lösung des Spiels: entscheide dich für den Erwartungswert, also 9

Der Erwartungswert hier ist nicht 9, sondern .

Zunächst ist festzuhalten, dass dieses Spiel (im Gegensatz zum ersten Spiel) mehrere Mitspieler voraussetzt, d.h. mindestens zwei.

Günstigste Wahl bei diesen neuen Spielregeln ist nicht der Erwartungswert, sondern der Median, das ist hier die 8. Das will ich jetzt hier nicht beweisen, aber an einem sehr einfachen Beispiel demonstrieren: Nehmen wir statt deiner 17 Zahlen die 5 Zahlen

1 , 2 , 3 , 4 , 10

Wir beide spielen dieses Spiel: Du wählst den Erwartungswert , ich hingegen den Median 3. Wer glaubst du, gewinnt im Mittel öfter?
Gertrut Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das leuchtet ein.

Du gewinnst mit der Wahl des Median von 3 im Mittel öfter, weil du im Schnitt in 3/5 der Fällen gewinnst und ich mit der Wahl des Erwartungswertes 4 nur in 2/5 der Fällen.

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable, sozusagen das Pendant zum arithmetischen Mittel bei "normalen" Variablen, ist natürlich durch seine Nicht-Robustheit gegenüber Ausreißern anfälliger im Gegensatz zum Median.

Deshalb Wahl des Median, richtig?


Daher kommt vielleicht auch der Begriff - die "goldene" Mitte ?! :-)
Gertrut Auf diesen Beitrag antworten »

Anmerkung:

Nur wenn wir z.B. 100 Spiele von Spiel 2 spielen & es am Ende auf den Wert ankommt, will heißen, der Spielleiter lässt denjenigen von uns beiden gewinnen, der dem Mittel der 100 gelosten Lose am Nächsten kommt, dann müsste man sich für den Erwartungswert entscheiden, oder?


Liebe Grüße

Gertrut
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat nichts mit Robustheit zu tun. Die Rechnung ergibt eben schlicht, dass der Median die optimale Wahl für dieses dein Spiel ist. Bei einer anderen Gewinnregel kann das schon wieder anders aussehen.
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