Aufgabe zu Fixpunktsatz/Stetigkeit

14.12.2018, 16:05

vlb

Aufgabe zu Fixpunktsatz/Stetigkeit

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe gegeben :
Betrachten Sie die Abbildung f:[0,2] --> [0,2] die gegeben ist durch
f(x) =
$\begin{eqnarray*} 4^{\frac{1}{x+1}} -2 wenn 0\leq x <1 ln(x) wenn 1\leq x\leq 2 \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass die Bedingungen des Fixpunktsatzes hier erfüllt sind. Folgt daraus dass es einen Punkt x Element von [0,2] gibt, sodass x-f(x) = 0 ?

Meine Ideen:
Also zu dem ersten Aufgabenteil habe ich mir folgendes überlegt : Wenn die Funktion stetig ist, gilt der Fixpunktsatz.
Um die Stetigkeit zu zeigen habe ich $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(xo)|<E |4^{\frac{1}{x+1}} -2 - ln(xo) | < E dann habe ich im Taschenrechner log(\frac{1}{x+1})/log(4) gerechnet und da kam -6,64 heraus. Also |-6,64-2 -ln(xo)| < E \end{eqnarray*}$

Ich kam schon in der Schule nicht mit Logarithmen klar, habe das Bauchgefühl, dass ich etwas falsch gemacht habe und komme an dieser stelle nicht weiter. Ich wäre um Hilfe sehr dankbar!

15.12.2018, 11:19

Huggy

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RE: Aufgabe zu Fixpunktsatz/Stetigkeit

Zitat:

Original von vlb
Zeigen Sie, dass die Bedingungen des Fixpunktsatzes hier erfüllt sind,

Hast du die Funktion korrekt hingeschrieben? Denn für deine obige Funktion sind die Bedingungen des Fixpunktsatzes nicht erfüllt. Die obige Funktion ist im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ nicht kontrahierend.

Stetig ist obige Funktion allerdings. Was du dazu machst, verstehe ich nicht. Du brauchst doch nur zu zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} 4^{\frac 1 {1+x)}}-2= \ln x \end{eqnarray*}$

Das kann man ohne Taschenrechner ausrechnen.

15.12.2018, 11:25

Leopold

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RE: Aufgabe zu Fixpunktsatz/Stetigkeit

Zitat:

Original von Huggy
Hast du die Funktion korrekt hingeschrieben? Denn für deine obige Funktion sind die Bedingungen des Fixpunktsatzes nicht erfüllt. Die obige Funktion ist im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ nicht kontrahierend.

Da ist natürlich die Frage, was vlb unter "Fixpunktsatz" versteht. Vielleicht nicht das, was man sonst mit dem Namen Banach verbindet. Möglicherweise ist hier nur eine kleine Verallgemeinerung des Zwischenwersatzes gemeint. verwirrt

15.12.2018, 11:46

Huggy

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RE: Aufgabe zu Fixpunktsatz/Stetigkeit
Das könnte natürlich sein.

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