Differenzialgleichung 2.Ordnung |
| 14.12.2018, 20:53 | Duplex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Differenzialgleichung 2.Ordnung ich möchte gern folgende DGL lösen y“(x) + y(x) = K – K*cos(x) Soweit mir bekannt ergibt sich die Lösung aus der Summe von homogener und partikulärer Lösung y(x) = yh(x) + yp(x) Die homogene Lösung der DGL sollte folgende sein yh(x) = C1*cos(x) + C2*sin(x) Die partikuläre Lösung bereitet mir allerdings größere Probleme Die Störfunktion ist eine Summe r(x) = K – K*cos(x) Deshalb verwende ich folgende Ansatzfunktion mit den Koeffizienten D, E, F yp(x) = D + E*sin(x) + F*cos(x) eingesetzt in die DGL erhalte ich -E*sin(x) – F*cos(x) + D + E*sin(x) + F*cos(x) = K – K*cos(x) Da bei dieser Gleichung die E und F Koeffizienten beim Zusammenfassen wegfallen und ich keine brauchbare Lösung erhalte, liegt hier vermutlich ein Resonanzfall vor. Deshalb habe ich meine neue Ansatzfunktion mit x erweitert, wie es mir die Literatur vorschlägt. yp(x) = D0 + D1*x + (E0 + E1*x)*sin(x) + (F0 + F1*x)*cos(x) eingesetzt in die DGL erhalte ich -E0*sin(x) + 2*E1*cos(x) - E1*x*sin(x) – F0*cos(x) – F1*x*cos(x) – 2*F1*sin(x) + D0 + D1*x + E0* sin(x) + E1*x*sin(x) + F0*cos(x) + F1*x*cos(x) = K – K*cos(x) Nach dem Zusammenfassen bleibt folgende Gleichung übrig 2*E1*cos(x) – 2*F1*sin(x) + D0 + D1*x = K – K*cos(x) Durch Koeffizientenvergleich folgt E1 = -1/2*K; F1 = 0; D1 = 0; D0 = K und damit ergibt sich die partikuläre Lösung yp(x)= K – ½K*x*sin(x) Nun bin ich mir jedoch unsicher, ob die partikuläre Lösung richtig ist. Bei der ersten Ansatzfunktion verwerfe ich den Lösungsansatz, weil Koeffizienten beim Zusammenfassen wegfallen, bei der zweiten Ansatzfunktion akzeptiere ich jedoch, dass die Koeffizienten E0 und F0 wegfallen. Liegt auch hier noch ein Resonanzfall vor? Bei den vielen schönen Lehrbuchbeispielen sind beim Koeffizientenvergleich immer noch alle Koeffizienten da. |
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| 15.12.2018, 10:41 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Differenzialgleichung 2.Ordnung
Und warum machst du dann nicht einfach die Probe? Das ist doch hier eine leichte Übung. |
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| 15.12.2018, 13:42 | Duplex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ups, manchmal verliert man sich so in einer Aufgabe, dass man die einfachsten Dinge vergisst. yp(x) = K - 1/2*K*x*sin(x) yp"(x) = 1/2*K*x*sin(x) - K*cos(x) damit ist 1/2*K*x*sin(x) - K*cos(x) + K - 1/2*K*x*sin(x) = K - K*cos(x) K - K*cos(x) = K - K*cos(x) d.h. die Koeffizienten E0 = F0 = 0 Danke Leopold! |
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