Skalarprodukt - Wieso ist es so definiert?

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gregorMath Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt - Wieso ist es so definiert?
hallo!

hat man zwei vektoren und im , kann man mit hilfe des kosinussatz den winkel berechnen, welche die beiden vektoren umschließen.

formt man etwas um kommt man zu dem ergebnis:



Jetzt kamen einige schlaue mathematiker auf die idee und haben festgelegt das wenn man vektoren miteinander multipliziert folgendes gelten soll:




Ich weiss nicht wieso es sinnvoll das skalarprodukt so zu definieren und wieso wir dann einfach so mit dieser definition weiter arbeiten können.

beispielsweise kann man die formel der projektion von vektoren herleiten, wenn man die definition des skalarprodukts nimmt, jedoch sagt mir niemand wieso das sinnvoll ist, wieso das korrekt ist und wieso das erlaubt ist.

ich hoffe ihr könnt mir da weiter helfen smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich ist die Herkunft andersherum, von der Projektion herkommend, so wie man das z.B. in Physik braucht
Arbeit=Kraftprojektion x Weg.

Und in der analytischer Geometrie in vielfältiger Weise verwendet wird.

Erstaunlich ist nun, dass das Skalarprodukt - auch im - die Summe der Koordinatenprodukte ist.

gregorMath Auf diesen Beitrag antworten »

könntest du das etwas weiter erläutern?

ich habe immer noch probleme die motivation zu verstehen und wieso das mathematisch okay ist.
wieso man vektormultiplikation so betrachten darf und wieso das mathematisch okay ist
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

in Physik ist die Motivation klar, man möchte z,B. die Arbeit ermitteln wenn Kraft- und Wegvektor nicht parallel sind.
In Analysis bilden im R^3 alle x eine Ebene, wenn

eine Ebene wenn senkrecht zur Ebene ist.
Und zwar mittels der Projektion: jeder Ebenenvektor ergibt senkrecht auf den Normlenvektor dasselbe orientierte Stück auf dem Normalenvektor. Also definiert man das ganze sinnigerweise unter dem Namen Skalarprodukt, weil das Ergebnis ein Skalar ist.

Wie gesagt, erstaunlich ist, dass sich dieses Produkt derart einfach und ohne Winkel in kartesischen Koordinaten berechnen lässt. Das muss man aber erst beweisen.

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Dopap

Dein zweimaliges "Def." irritiert mich. Meiner Ansicht nach kann man nur einmal "Def." schreiben. Der andere Zusammenhang ist dann beweisbar.

Ich gehe im Unterricht so vor.

1.

Dahinter steckt nur der elementargeometrische Satz des Pythagoras (Raumdiagonale eines Quaders).

2. Ist der von und eingeschlossene Winkel, so gilt nach dem elementargeometrischen Cosinus-Satz:



3. Mit Hilfe von 1. wird daraus nach Vereinfachung:



Und jetzt definiert (!) man den gemeinsamen Wert von linker und rechter Seite in der letzen Gleichung durch .
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Mithilfe des Kosinussatzes ist das jetzt klar,

folglich kann somit das "Def." sicher und völlig gefahrlos weggelassen werden. Augenzwinkern
 
 
jugin2509 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
eine Ebene wenn senkrecht zur Ebene ist.
Und zwar mittels der Projektion: jeder Ebenenvektor ergibt senkrecht auf den Normlenvektor dasselbe orientierte Stück auf dem Normalenvektor. Also definiert man das ganze sinnigerweise unter dem Namen Skalarprodukt, weil das Ergebnis ein Skalar ist.


Ich habe eine Frage dazu wie Sie das meinen.Wenn der Normalenvektor senkrecht auf jedem Ebenenvektor steht,dann gibt es doch gar keine Projektion. Und ist ja deswegen 0.Oder ist c bei Ihnen immer 0?

Grüße Eugen
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

"Ebenenvektoren" liegen nicht in der Ebene sondern die "Spitzen" der Ortsvekoren bilden die Ebene. Die ausführliche Darstellung:



[attach]48596[/attach]
im Bild stellt den Ortsvektor dar



Stell' die einen ebenen Regenschirm vor. Die Streben stellen die Vektoren X , der Stab den Normalenvektor dar.

Bei einer Ursprungsebene ist c=0 und du hast recht. Trotzdem gibt es eine Projektion
jugin2509 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich war schon im Ansatz falsch. Ich habe fälschlicherweise an einen "Spannvektor" gedacht.

Was ich leider immer noch nicht verstehe ist, dass c eine Konstante ist.

Ihre Formel deute ich so, dass ich eine Ebene aus den Punkten X habe.Deren Ortsvektoren und der Normalenvektor sollen dann als Skalarprodukt c ergeben.

c ist doch niemals konstant, weil sich ständig ändert.

Denke ich muss erstmal das verstehen, bevor ich weiß was Sie mit

Zitat:
Und zwar mittels der Projektion: jeder Ebenenvektor ergibt senkrecht auf den Normlenvektor dasselbe orientierte Stück auf dem Normalenvektor.

meinen. Hammer
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

drück ich mich unverständlich aus?

Dreht man den Schirmstab n senkrecht zur Sonne, dann sind alle Schatten aller Spannstäbe x auf dem Schirmstab gleich lang, auch bei jeglicher Drehung.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
drück ich mich unverständlich aus?
...

Joo, da komme ich jetzt auch nicht ganz mit. Big Laugh
-------------

Vielleicht so:

@jugin
Sei A ein fester Punkt der Ebene und der Ortsvektor ist durch alle variablen Punkte X, die ebenfalls in der Ebene liegen, symbolisiert.
ist ein Normalvektor der Ebene. Dann ist

(Orthogonalität)

(Differenz der Ortsvektoren)

skalar ausmultipliziert (Distributivgesetz gilt) ergibt:







ist deswegen immer die gleiche Konstante, weil alle Projektionen von OX auf gleich lang sind.
Das hat Dopap vermutlich mit dem Schatten gemeint.

mY+
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
[...]
Das hat Dopap vermutlich mit dem Schatten gemeint.


nicht nur vermutlich Augenzwinkern
Man müsste den Jüngeren vielleicht noch erklären, dass der Sonnen-Schatten eines Objekts einer Parallelprojektion gleichkommt.
jugin2509 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh.Ich glaube ich habs endlich gecheckt. Big Laugh

Wenn wir solch eine Ebene mit der Bedingung .
Und wegen ist unsere Projektion .
Unser c und bleiben konstant und deswegen muss die Projektion auch konstant bleiben. Nur die Länge von und der Winkel ändern sich, was sich aber in der Summe aber "ausgleicht".

In meinem Bild fällt der Schatten immer perfekt auf den Normalenvektor und da stimmt die Aussage.Wenn ich die Sonne jetzt vom Ursprung verschiebe, dann laufen ja die Schatten an den Normalvektoren vorbei und es gibt keine Projektion. Das mit den Schatten ist also nur zur "Verdeutlichung" für den Fall , dass die Sonne einen perfekten 90° Schatten auf den Normalenvektor wirft?

Vielen Dank soweit. Ich habe das Gefühl, dass ich das Skalarprodukt immer mehr verstehe. Freude
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jugin2509
[...]
Das mit den Schatten ist also nur zur "Verdeutlichung" für den Fall , dass die Sonne einen perfekten 90° Schatten auf den Normalenvektor wirft?


genau, natürlich ist immer bei der Projektion die senkrechte Parallel-Projektion zu verstehen.
Und das "Licht" besteht aus parallelen Wellenfronten wie die Wasserwellen am Strand von Waikiki Augenzwinkern
Vorsicht mit punktförmigen Lichtquellen wenn sie nicht im unendlichen sind, sonst hat man eine Zentralprojektion
mathefan007 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, könntest Du mir den Schritt von 2 zu 3 näher erläutern. Ich hänge gerade leider etwas bei dem Thema Skalarprodukt...
Viele Grüße

Zitat:
Original von Leopold
@ Dopap

Dein zweimaliges "Def." irritiert mich. Meiner Ansicht nach kann man nur einmal "Def." schreiben. Der andere Zusammenhang ist dann beweisbar.

Ich gehe im Unterricht so vor.

1.

Dahinter steckt nur der elementargeometrische Satz des Pythagoras (Raumdiagonale eines Quaders).

2. Ist der von und eingeschlossene Winkel, so gilt nach dem elementargeometrischen Cosinus-Satz:



3. Mit Hilfe von 1. wird daraus nach Vereinfachung:



Und jetzt definiert (!) man den gemeinsamen Wert von linker und rechter Seite in der letzen Gleichung durch .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wie es geht, steht eigentlich schon da. Ersetze gemäß der Formel aus 1., angepaßt auf die jeweiligen Vektoren. Das Quadrieren läßt die Wurzel verschwinden. Dann ist es noch dreimal die gewöhnliche binomische Formel in und eine Vereinfachung des Terms.
mathefan007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok klar. Das heißt im Prinzip mit anderen Worten:
Ich kann das Skalarprodukt über Winkel definieren und zeige über den Kosinussatz, dass es gleich dem Standardskalarprodukt ist, oder genau rückwärts. Die Schlüsselstelle ist immer der Kosinussatz, richtig?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
mathefan007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Danke! Ich hoffe, ich habs verstanden. Es hat mich einfach verwirrt, dass man beides definieren kann und dann das jeweils andere als Folgerung sieht. Aber so macht es Sinn. Man muss sich eben entscheiden, was die Definition, und was die Folgerung ist. Oft vermischt sich das in Büchern. In der Schule wird ja oft zuerst das Standardskalarprodukt zuerst besprochen und eigentlich macht der Begriff "orthogonal" ja erst dann Sinn, wenn man Winkel hat. Aber so ist´s eben.
Danke nochmals"
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mathefan007

ich möchte dir hier noch zeigen, wie ich dieses Thema im Rahmen des gymnasialen Unterrichts manchmal aufgezogen habe. Nachdem der Cosinussatz für Dreiecke und die Darstellung von Vektoren schon eingeführt und geübt worden waren, eröffnete ich etwa eine Lektion mit der Frage, wie man den Zwischenwinkel zwischen zwei gegebenen Vektoren

und

berechnen könne. Die Idee, den dritten Dreiecksvektor zu berechnen, mittels Betragsformel die drei Seitenlängen des Dreiecks zu berechnen und dann den Cosinussatz anzuwenden, lag dann nahe. Dies gibt dann zwar ein paar Zeilen zu schreiben, aber auf dem Weg der Durchführung wurde dann klar, dass Terme wie etwa mehrfach auftraten. An dieser Stelle führte ich dann einfach den Term "Skalarprodukt" für diesen Term einmal als provisorischen Hilfsbegriff bzw. als Abkürzung ein. Damit ließ sich dann die ganze Winkelberechnung recht nett notieren.
In einer folgenden Lektion wurde dann gezeigt, dass dieses "Skalarprodukt" nicht nur eine praktische Abkürzung war, sondern interessante algebraische und geometrische Eigenschaften hatte. So kamen wir schließlich zu zwei möglichen "alternativen" Definitionen des Skalarprodukts, nämlich der "algebraischen Definition"



und zur (dazu äquivalenten) "geometrischen Definition" :



wobei der Zwischenwinkel der beiden Vektoren ist. Dass man dann auch die Beträge der Vektoren mittels Skalarprodukt schreiben kann, etwa



ist dann natürlich ein willkommener Zusatzeffekt !
mathefan007 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank! Das hilft mir sehr viel weiter.
Und dann hat doch das Skalarprodukt auch noch die geometrische Deutung als Projektion, oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rumar
... etwa



ist dann natürlich ein willkommener Zusatzeffekt !

Dieser kann noch netter als

(!)

geschrieben werden.

Zitat:
Original von mathefan007
...
Und dann hat doch das Skalarprodukt auch noch die geometrische Deutung als Projektion, oder?

Selbstverständlich. Denn das Skalarprodukt ist definitionsgemäß auch gleich dem Betrag des ersten Vektors multipliziert mit der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten:



Dies gilt auch dann, wenn die beiden Vektoren vertauscht werden, also der erste Vektor auf den zweiten projiziert wird:
Somit ist das Skalarprodukt kommutativ, wie leicht zu zeigen ist.

Dass diese Definition die bisher erklärten Verhältnisse genau trifft, also zu diesen äquivalent ist, wird evident, wenn die Länge der Projektion aus dem rechtwinkeligen Dreieck über den Winkel berechnet wird:





mY+
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und dann hat doch das Skalarprodukt auch noch die geometrische Deutung als Projektion, oder?

Nach meiner Ansicht ist das aber keine korrekte Beschreibung des Sachverhalts !
Das Skalarprodukt ist ja keine Projektion, sondern es spielt einfach eine gewisse vermittelnde Rolle, wenn man die Projektion eines Vektors auf die Trägergerade eines anderen Vektors rechnerisch darstellt.
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