3 aus n Zahlen ziehen;Wahrscheinlichkeit für benachbarte Zahlen bestimmen

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o1246413 Auf diesen Beitrag antworten »
3 aus n Zahlen ziehen;Wahrscheinlichkeit für benachbarte Zahlen bestimmen
Die Aufgabe lautet:
Sei n \geq 3 eine natürliche Zahl. n Karten, die mit den Zahlen 1,2,...,n durchnummeriert sind, werden gemischt und dann als Stapel auf den Tisch gelegt. Es werden die ersten 3 Karten vom Stapel abgenommen.

a) Man bestimme für den Fall n = 7 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten drei Karten genau zwei benachbarte Karten sind.

b) Nun beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten drei Karte genau zwei benachbarte Karten sind \frac{3}{5} . Wie groß könnte n sein?

gegebene Lösung:
zunächst zu b)

Sind die Karten mit den Nummern 1,2 oder n-1, n in der Auswahl, so gibt es jeweils n-3 Möglichkeiten, die dritte Karte auszuwählen, so dass genau zwei benachbarte Paar in der Auswahl sind. Für alle n-3 anderen Nachbarpaare gibt es jeweils n-4 Möglichkeiten, die dritte Karte auszuwählen. Die W. dafür, aus n Karten 3 so zu ziehen, dass sich genau 2 benachbarte Zahlen auf den Karten finden, ist also



Nach Umformung ergeben sich für n=5 oder n=6 als Lösung der quadr. Gleichung.

zu a)



Meine Probleme:
Ich verstehe die a) und b) so, dass ich in meiner Auswahl k z.B die Zahlen 1,2, 4/5/6/7 aber eben NICHT 1,2,3 habe. Ich habe also ein Nachbarpaar ({(1,2)}) und NICHT 2 Nachbarpaare ({(1,2),(2,3)}). In der Erklärung zu b) lese ich nun: "...n -3 Möglichkeiten, die dritte Karte auszuwählen, so dass genau zwei benachbarte Paar in der Auswahl sind....". Klingt erstmal nach Gegenwahrscheinlichkeit berechnen. Aber in der Lösung sehe ich kein 1-(???) , was al Gegenw. zu identifizieren wäre.

Ich verstehe also die Zusammensetzung des Zählers aus b) nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Zähler ist völlig in Ordnung - Erklärung:

Sei die Nummer der ersten der beiden benachbarten Karten, die unter den drei gezogenen Karten sind.

Ist , so gibt es für die dritte Karte genau Möglichkeiten, nämlich .

Ist , so gibt es für die dritte Karte ebenfalls genau Möglichkeiten, nämlich .

In den restlichen Fällen gibt es aber nur Möglichkeiten, nämlich sowie . Diesen Fall gibt es natürlich überhaupt nur, falls ist.


Man kann die Wahrscheinlichkeitsformel dann natürlich noch vereinfachen:



Zitat:
Original von o1246413

Verrechnet: Der Nenner ist nicht 140, sondern 35. unglücklich

Demzufolge ist das richtige Endergebnis .
 
 
o1246413 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz doll DANKE! Gott
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von o1246413
Aber warum kommt bei in der Lösung oben 140 raus? Ich komme im Zähler auf 20 und im Nenner auf 35.

Hallo? Du bist es doch, der die 140 behauptet hat! Ich hab doch geschrieben, dass 35 im Nenner richtig ist.
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