Poisson Gleichung in unbeschränkter Menge

15.12.2018, 17:25	F14	Auf diesen Beitrag antworten »
Poisson Gleichung in unbeschränkter Menge Meine Frage: Hallo! Meine Frage ist recht speziell, aber ich dachte mir ich versuch es einfach mal. Und zwar geht es um das Randwertproblem zur elliptischen PDE $\begin{eqnarray} \nabla^{2}u = f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ mit Nullranddaten. Leider ist $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ aber unbeschränkt. Normalerweise kann man ja den Rieszschen Darstellungssatz auf die schwache Formulierung anwenden: $\begin{eqnarray} \int_{\Omega} \! \nabla{u} \nabla{v}\, dx = \int_{\Omega} \! fv \, dx \end{eqnarray}$ weil die rechte Seite ein beschränktes Funktional ist. Das folgt daraus, dass die linke Seite ein Skalarprodukt definiert, das (norm-)äquivalent zum Standardskalarprodukt auf dem $\begin{eqnarray} H^{1}_{0} \end{eqnarray}$ . Das folgt aus der Poincaré Ungleichung. Dafür braucht man aber eben beschränkte Mengen. Meine Frage: Wie macht man das auf unbeschränkten Mengen? Ich habe im Internet nicht viel gefunden, außer Hinweise auf gewichtete Sobolevräume... leider jedoch wenig konkretes. Hat jemand eine Quelle oder kann mir einen solchen Raum mal kurz umreißen? Wie kriegt man dort die Normäquivalenz? Meine Ideen: Danke

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