Lineare Abbildung Vektorraum

15.12.2018, 23:46	Bavaria95	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung Vektorraum Meine Frage: Hallo Leute,dies ist mein erster Eintrag hier in der Seite und ich hoffe ihr könnt mir richtige Ideen geben damit ich folgende Aufgabe lösen kann: Sei K ein Körper. Betrachten Sie folgende Aussage: Ist V ein K- Vektorraum und ist f : V + V eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass für v, w e V stets f (v + w) f (v) + f (w) gilt, so ist f eine K-lineare Abbildung. Entscheiden Sie: (A) Die Aussage ist wahr für K=Q. (B) Die Aussage ist wahr für K=F2. (C) Die Aussage ist wahr für K=IR. (D) Die Aussage ist wahr für K=C. Meine Ideen: Also damit eine Abbildung auch linear ist müssen ja zwei Kriterien erfüllt werden: 1. f(av)=af(v) 2.f (v + w) f (v) + f (w). Und wenn ich die Aufgabe richtig verstanden hab ist die Abbildung in einem der 4 Körpern immer linear,wenn halt 1. stets gilt ohne auch nur 2. zu prüfen. Ich weiß nicht ob ich die Aufgabe überhaupt so richtig verstanden hab und wäre dankbar wenn mir jemand die Frage etwas genauer erklärt. Ich würde auch auf Surjektiv bzw Endomorphismus tippen bei Q aber ich schaue erstmal ob ich die Aufgabe richtig verstanden hab :/
16.12.2018, 11:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die komplexe Konjugation $\begin{eqnarray} z=x+iy\mapsto \overline z=x-iy \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \overline {v+w}=\overline v+\overline w, \overline {\alpha\cdot v}=\overline {\alpha}\cdot \overline v \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v,w,\alpha \in\mathbb C \end{eqnarray}$ . Diese Funktion auf dem eindimensionalen komplexen Vektorrraum $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ist also additiv aber nicht linear. (Bei der Definition der Additivität f(v+w)=f(v)+f(w) hast du mehrmals das Gleichheitszeichen vergessen.) Additive oder lineare Abbildungen müssen weder surjektiv noch injektiv sein, das einfachste Gegenbeispiel ist die Nullabbildung.
16.12.2018, 19:14	Bavaria95	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort Ja also mit der Konjugation ist es mir auch soweit klar, und mir ist auch klar dass die Abbildung auch nicht injektiv oder surjektiv sein muss damit sie linear ist. Ich hab nur einen Ansatz versucht aber der mich wahrscheinich nicht sehr weiter bringt Ich bräuchte nur ein Stichwort oder einen Ansatz wie ich hier vorgehen müsste.. muss ich dann auch noch f(av)=af(v) zeigen ? Sorry für das Gleichheitszeichen
16.12.2018, 19:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst für die komplexe Konjugation nicht zeigen, dass $\begin{eqnarray} f(av)=af(v) \end{eqnarray}$ gilt, denn das gilt eben nicht. Es ist $\begin{eqnarray} \overline {\alpha\cdot v}=\overline {\alpha}\cdot \overline v\ne {\alpha}\cdot \overline v \end{eqnarray}$ . Du musst lesen, was ich schreibe, dann verstehst du mich besser. Ich habe geschrieben : Diese Funktion auf dem eindimensionalen komplexen Vektorrraum $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ist also additiv aber nicht linear. Es gilt auch hier wie im richtigen Leben der Grundsatz: "Wer lesen kann, ist immer im Vorteil."

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