Konvergenz einer Reihe

16.12.2018, 18:50

Outtaspace

Konvergenz einer Reihe

Hey

Aufgabe ist im Anhang. Habe versucht Die Formel mal anzuwenden. Summierbar ist bei uns ein anderer Begriff für Konvergenz.
Dabei kam folgendes raus
$\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{n}}-1^{\frac{1}{n}}=(a-1)\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{\frac{1}{k} } \end{eqnarray*}$
Bin mir allerdings unsicher, ob man das so umformen darf und was ich damit anfangen soll, eventuell nach oben irgendwie abschätzen?

Wäre froh wenn mir jemanden einen Tipp geben könnte um mich auf die richtige Fährte zu führen smile

16.12.2018, 19:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Outtaspace
$\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{n}}-1^{\frac{1}{n}}=(a-1)\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{\frac{1}{k} } \end{eqnarray*}$

Diese Formel ist blanker Unsinn - das hättest durch testweises Einsetzen von ein paar Werten auch selbst feststellen können. unglücklich

Nein, nutze die vorgeschlagene Formel für $\begin{eqnarray*} x=a^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ , das ergibt

$\begin{eqnarray*} a-1 = \left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)\sum_{k=0}^{n-1} a^{\frac{k}{n}} \end{eqnarray*}$

und damit für die Partialsumme der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^m \left(a^{\frac{1}{n}}-1\right) = \sum_{n=1}^m \frac{a-1}{\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{\frac{k}{n}}} \geq \sum_{n=1}^m \frac{a-1}{na} = \frac{a-1}{a} \sum_{n=1}^m \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ,

die Abschätzung basierend auf $\begin{eqnarray*} a^{\frac{k}{n}}\leq a^{\frac{n}{n}} = a \end{eqnarray*}$ für jeden einzelnen Summanden $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ im Nenner.

16.12.2018, 21:30

Outtaspace

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Super vielen Dank! dann habe ich ja eine harmonische Reihe da stehen die nicht konvergent ist. Ja das mit dem einsetzen ist wirklcih ein guter Tipp fürs nächte mal Freude

Habe mir sogar auch überlegt, dass x so zu setzen und dann dachte mir dann habe ich ja gar keine Potenz mehr da stehen, was mich auch nicht weiterbringt

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