Erwartungswert, Zufallsvariable, Varianz

17.12.2018, 11:20

Fenni

Erwartungswert, Zufallsvariable, Varianz

Meine Frage:
Sei X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert E(X)=100 und Varianz V(X)=80.

a) Wie groß ist höchstens die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert kleiner als 80 annimmt?

b) Bestimmen Sie eine reelle Zahl q so, dass die Werte von X mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit im Intervall [100 - q; 100 + q] liegen.

Meine Ideen:
Also ich weiß die Formel für den Erwartungswert und die Varianz:
E(x) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} * P(X=x_{i}) \end{eqnarray*}$
und V(x) = E $\begin{eqnarray*} ((X - E(x))^{2}) \end{eqnarray*}$

Bei a) suche ich P(X<80), meine Idee wäre das ich mit P(X=79) rechne und dann 100 = 79*p
Kann ich das machen oder ist das kompletter Unsinn? smile

bei b) weiß ich gar nicht wo ich anfangen soll

wäre super wenn mir da jemand weiter helfen kann smile

17.12.2018, 12:37

Dopap

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a1.) wenn man annimmt, dass X stetig normalverteilt $\begin{eqnarray*} N(100,80) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E(X)=\mu \end{eqnarray*}$ ist, und die Wurzel aus der Varianz die Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{V(X)}=\sigma \approx 8.95 \end{eqnarray*}$ ist, dann lässt sich die Verteilung auf die Standardnormalverteilung mittels

$\begin{eqnarray*} Z=\frac {X-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ transformieren. Z ist N(0,1) normalverteilt, oder in Schön $\begin{eqnarray*} Z\sim {\mathcal {N}}\left(0 ,1\right) \end{eqnarray*}$

Damit stellt sich die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit Z kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \frac {-20}{8.95}\approx -2.24 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} P(Z\leq -2.24) \end{eqnarray*}$ ist.

Die Standardnormalverteilung liegt hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Standardno...teilungstabelle

tabellarisch als $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ vor. Aus Symmetriegründen aber nur Werte für positive z .
Aber mit $\begin{eqnarray*} \Phi(-2.24)=1-\Phi(2.24) \end{eqnarray*}$ lässt sich das beheben

a2) wenn X diskret ist, dann geht es im Prinzip genauso, sofern die Anzahll der Datenpunkte eine Approximation per Normalverteilung zulassen. z.b. mit n größer 30.
Trotzdem ist die Stetigkeitskorrektur anzuraten.
Also $\begin{eqnarray*} P(X\leq 79)\approx \Phi\left(\frac {79+{\color{red}0.5}-100}{8.95}\right) \end{eqnarray*}$

18.12.2018, 00:38

Dopap

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RE: Erwartungswert, Zufallsvariable, Varianz

Zitat:

Original von Fenni

Sei X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert E(X)=100 und Varianz V(X)=80.

b) Bestimmen Sie eine reelle Zahl q so, dass die Werte von X mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit im Intervall [100 - q; 100 + q] liegen.

Das müsste aber so

b) Bestimmen Sie eine reelle Zahl q so, dass die Werte von X mit ~~mindestens~~ 95% Wahrscheinlichkeit im Intervall [100 - q; 100 + q] liegen. heißen

denn mindestens bedeutet, auch $\begin{eqnarray*} q=111 \end{eqnarray*}$ erfüllt dies ohne Rechnung locker.

es geht wohl eher um die kleinstmögliche Zahl q

wie man hier sieht bewirken 2 Standardabweichungen ein p von 95.3 %:

[attach]48586[/attach]

demnach $\begin{eqnarray*} q\approx 2\cdot 8.95 \end{eqnarray*}$ die genaue Rechnung liefert die berühmten $\begin{eqnarray*} 1.96\sigma \end{eqnarray*}$ fürdas 95% Vertrauensintervall. Kennt jeder Mathematiker

jetzt probiere das mit $\begin{eqnarray*} \sigma=8.95 \end{eqnarray*}$ und der Tabelle nachzuvollziehen.

18.12.2018, 08:54

HAL 9000

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Ich weiß nicht, vielleicht sollte man erstmal abwarten, dass Fenni das mit der Normalverteilungsannahme bestätigt - oder eben auch nicht. Jedenfalls sehe ich in dem gesamten Beitrag nicht die geringste Erwähnung oder Andeutung dessen, stattdessen das auf eine diskrete Verteilung hinweisende

Zitat:

Original von Fenni
E(x) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} * P(X=x_{i}) \end{eqnarray*}$

Möglicherweise geht es ja auch um Abschätzungen basierend auf der Tschebyscheff-Ungleichung, für die benötigt man keine Verteilungsannahme.

18.12.2018, 09:15

Fenni

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Im Skript steht Tschebyscheff-Ungleichung aber verstehs nicht so ganz

18.12.2018, 09:37

HAL 9000

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Die Tschebyscheff-Ungleichung (TU) besagt $\begin{eqnarray*} P\left( |X-E(X)| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2} \end{eqnarray*}$ , d.h. die Wahrscheinlichkeit der "Ränder" wird nach oben abgeschätzt.

Bei a) haben wir nur die Wahrscheinlichkeit eines Randes (den nach unten) - was solls, dann schätzen wir eben grob ab (Methode Holzhammer):

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 80) = P(X-100\leq -20) \stackrel{!}{\leq} P(|X-100|\geq 20) = P(|X-E(X)|\geq 20) \stackrel{(TU)}{\leq} \frac{V(X)}{20^2} = \frac{80}{400} = 0.2 \end{eqnarray*}$

An der Stelle $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{\leq} \end{eqnarray*}$ haben wir einfach zum unteren Rand $\begin{eqnarray*} X\leq 80 \end{eqnarray*}$ gleich mal die Wahrscheinlichkeit für den oberen Rand $\begin{eqnarray*} X\geq 120 \end{eqnarray*}$ draufgeschlagen - ist legitim, da sich dadurch die Wahrscheinlichkeit höchstens vergrößert, und wir ja eine Abschätzung nach oben suchen.

Zu b) Das gleiche in Grün, nur für die Gegenwahrscheinlichkeit. Es ist

$\begin{eqnarray*} P(X\in [100-q,100+q]) = P\left(|X-100|\leq q\right) = 1-P\left(|X-100|> q\right) \stackrel{(TU)}{\geq} 1-\frac{80}{q^2} \end{eqnarray*}$ .

Gemäß dieser Ungleichung ist klar: Wenn für die rechte Seite $\begin{eqnarray*} \geq 0.95 \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist das hinreichend (!) dafür, dass $\begin{eqnarray*} P(X\in [100-q,100+q])\geq 0.95 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Wohlgemerkt "hinreichend", bei genauerer Verteilungskenntnis (wie etwa von Dopap gerechnet Normalverteilung) bekommt man ein "besseres" (d.h. kleineres) $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ hin.

18.12.2018, 11:37

Dopap

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Zitat:

Original von Fenni
Im Skript steht Tschebyscheff-Ungleichung aber verstehs nicht so ganz

Das hätte auch locker in die Eingangspost gepasst. Immer muss man sich das Zeug zusammensuchen unglücklich

18.12.2018, 11:45

Fenni

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Ja stimmt ^^ hab das vergessen sorry smile

Und danke für die Antworten, habs denke ich verstanden

18.12.2018, 13:44

HAL 9000

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Während die Abschätzung bei b) scharf ist (d.h., es lässt sich eine passende Verteilung angeben, so dass sich der q-Wert nicht weiter verkleinern lässt), trifft dies auf a) nicht zu.

Im Zusammenhang mit a) habe ich daher folgende Aussage aufgestellt:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ eine Zufallsgröße mit $\begin{eqnarray*} E(Z)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E\left(Z^2\right)=1 \end{eqnarray*}$ .

Behauptung: Für jede positive Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} P(Z\geq a)\leq \frac{1}{a^2+1} \end{eqnarray*}$ .

Bin überzeugt, dass das stimmt, aber ein wasserdichter Beweis will mir momentan nicht glücken. verwirrt

Gleichheit ist übrigens erreichbar mit der Zweipunktverteilung $\begin{eqnarray*} P(Z=a) = \frac{1}{a^2+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P\left(Z=-\frac{1}{a}\right)=\frac{a^2}{a^2+1} \end{eqnarray*}$ .

Tschebyscheff liefert (mit der Methode von oben) übrigens nur das schwächere, und damit nicht scharfe $\begin{eqnarray*} P(Z\geq a)\leq \frac{1}{a^2} \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Achso, der Zusammenhang zu a): Man betrachtet dazu $\begin{eqnarray*} Z = \frac{100-X}{\sqrt{80}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ .

EDIT2: Hat sich erledigt, mit der CSU klappt der Nachweis ganz gut (und das ganze nennt sich Ungleichung von Cantelli).

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