Wahrscheinlichkeit berechnen bei gegebener Normalverteilung

17.12.2018, 16:54

Gertrut

Wahrscheinlichkeit berechnen bei gegebener Normalverteilung

Meine Frage:
Hey Leute,

Angenommen bei einem Spielautomaten sei der Gewinn pro Spiel normalverteilt mit
$\begin{eqnarray*} \mu = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma = 1 \end{eqnarray*}$ . Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der Gesamtgewinn
eines Abends mit 16 Spielen höher ist als 16 EUR? Wie könnte man dies berechnen, hat einer eine Idee?

Liebe Grüße

Meine Ideen:
ist das gleichbedeutend mit der Frage : Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in jedem der 16 Spiele im Mittel 1 Euro gewonnen wird?

Drei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

17.12.2018, 18:01

HAL 9000

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Hier nutzt man eine spezielle Eigenschaft der Normalverteilung:

Sind $\begin{eqnarray*} X_1\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2) \end{eqnarray*}$ , sowie beide unabhängig, dann gilt $\begin{eqnarray*} X_1+X_2\sim\mathcal{N}(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2) \end{eqnarray*}$ . Man beachte dabei, dass sich die Varianzen addieren - nicht die Standardabweichungen (um mal einen häufigen Fehler zu benennen).

Diese Eigenschaft lässt sich auch auf endliche viele Summanden ausdehnen. Sind alle unabhängig identisch verteilt, bedeutet das $\begin{eqnarray*} X_1+\ldots+X_n\sim\mathcal{N}(n\mu_1,n\sigma_1^2) \end{eqnarray*}$ .

17.12.2018, 18:44

Gertrut

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Hättet ihr einen Rechenansatz für mich ?

Am besten ohne viel Formelei :-)

Liebe Grüße

17.12.2018, 18:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gertrut
Hättet ihr einen Rechenansatz für mich ?

Ist oben geschehen.

17.12.2018, 19:15

Gertrut

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könntest du den etwas konkretisieren?

werde aus deinen Ausführungen nicht schlau...

17.12.2018, 19:56

HAL 9000

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Alle 16 Einzelgewinne sind normalverteilt $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}\left(0,1^2\right) \end{eqnarray*}$ .

Das entspricht dem von mir oben beschriebenen Szenario mit $\begin{eqnarray*} \mu_1=0,\sigma_1=1,n=16 \end{eqnarray*}$ , also ist der Gesamtgewinn (= Summe der 16 Einzelgewinne) normalverteilt $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}\left(16\cdot 0,16\cdot 1^2\right) = \mathcal{N}\left(0,16\right) = \mathcal{N}\left(0,4^2\right) \end{eqnarray*}$ .

Und für eine einzelne Normalverteilung mit Erwartungswert 0 und Varianz $\begin{eqnarray*} 4^2 \end{eqnarray*}$ wirst du doch wohl die Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} \geq 16 \end{eqnarray*}$ berechnen können, oder?