Residuensatz, Ringintegrale

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MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »
Residuensatz, Ringintegrale
Meine Frage:
Berechnen Sie mit Hilfe des Residuensatzes das Integral

das Integral von bis dx (x sin x)/(x^4+1) mit x

als Tipp gegeben: Schreiben Sie sin x mit Exponentialfunktionen und überlegen Sie, ob das Integral in der oberen oder unteren Halbebene geschlossen werden muss.Achten Sie auf den Umlaufsinn der Integration.

Meine Ideen:
Ich müsste sin x in die Polardarstellung zuerst bringen.
z= Betrag von z * e^(iphi).

Danach die Polstellen des Nenners berechnen.
x^4+1=0
x^4=-1 / Wurzel aus beiden Seiten ziehen
x^2= Wurzel aus -1
x^2=i / Wurzel auf beiden Seiten ziehen
x1= +i , x2=-i
mit jeweils einfacher Ordnung

Nun muss ich überlegen, dass das Integral in der oberen oder unteren Halbene geschlossen werden muss, aber so dass beide Pole innerhalb von C liegen (?). Ich würde sagen, es muss in der oberen Halbene geschlossen werden, damit +i als Pol auftaucht in C und in der unteren Halbene muss es geschlossenw erden, damit -i als Pol auftaucht.

Dann anschließend noch den Residuensatz: Res (f(z),zi)=lim z->zi (z-zi)f(z) berechnen.

Das wären meine Gedanken zu der Aufgabe, aber ich komme nicht weiter, wie man anfängt bzw. den Sinus in die Exponentialdarstellung bringt.

Ich wäre über jede Hilfe dankbar.

MfG

MatheFredo
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuensatz, Ringintegrale
Zitat:
Original von MatheFredo1
Ich müsste sin x in die Polardarstellung zuerst bringen.
z= Betrag von z * e^(iphi).


Inwiefern hat das nun mit zu tun? Und es wurde nichts von Polardarstellung gesagt sondern von Exponentialfunktion, und da gibt es einen sehr wichtigen Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion (manchmal werden Sinus und Cosinus über diesen Zusammenhang auch definiert).

Zitat:
Original von MatheFredo1
x1= +i , x2=-i
mit jeweils einfacher Ordnung


Nein. Zunächst ist nicht einfach . Und dann solltest du dir dafür einmal angucken, wie man die -te Wurzel einer komplexen Zahl berechnet.

Was du dann weiter machst kann ich nicht nachvollziehen, einfach nur irgendwie den Residuensatz hinschreiben und etwas ausrechnen ist bestimmt nicht sinnvoll. Ihr werdet wahrscheinlich in der Vorlesung gewisse Anwen
dungen des Residuensatzes auf reellwertige Integrale
besprochen haben, schlag diese also einmal nach.
 
 
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuensatz, Ringintegrale
Zitat:
Original von Iorek
[quote]Original von MatheFredo1
Ich müsste sin x in die Polardarstellung zuerst bringen.
z= Betrag von z * e^(iphi).


Inwiefern hat das nun mit zu tun? Und es wurde nichts von Polardarstellung gesagt sondern von Exponentialfunktion, und da gibt es einen sehr wichtigen Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion (manchmal werden Sinus und Cosinus über diesen Zusammenhang auch definiert).

Könnte ich hier die Euler-Formel verwenden?
e^iphi= cos phi + i sin phi?

oder meinst Du die trig. Beziehung:

sin^2 phi + cos ^2 phi = 1?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aus der Euler-Formel lässt sich eine Darstellung des Sinus mit der Exponentialfunktion herleiten die du dann hier verwenden kannst.
Mathsenergy Auf diesen Beitrag antworten »

e^(iphi)= cos Phi + i sin phi?
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Ja, aus der Euler-Formel lässt sich eine Darstellung des Sinus mit der Exponentialfunktion herleiten die du dann hier verwenden kannst.


Meinst Du sin= 1/(2i) e^(iz)-e^(-iz) ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst genau so vorgehen, wie ich es hier beschrieben habe. Statt hast du zu nehmen. Du integrierst also über



Der Integrationsweg bleibt. Die Abschätzung für die Integration über den Halbkreisbogen kannst du analog dem Link durchführen. Auch hier genügt die gröbere Abschätzung, wie sie später von HAL 9000 vorgeschlagen wurde. Letztlich bekommst du



worin beziehungsweise die Residuen bei den Polen beziehungsweise sind. Ich habe dafür



erhalten. Durch Übergang zum Imaginärteil folgt aus schließlich die skurrile Beziehung

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