Bei n Würfen alle Zahlen mindestens einmal

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laila49 Auf diesen Beitrag antworten »
Bei n Würfen alle Zahlen mindestens einmal
Meine Frage:
wie hoch ist eigentlich die Wahrscheinlichkeit, nach genau n Würfen mit einem Würfel zum ersten Mal jede Zahl mindestens einmal geworfen zu haben?
ich zerbreche mir da schon länger den Kopf. ist das wirklich so schwer, oder habe ich nur ein Brett vor demselben?

Meine Ideen:
habe versucht alle Kombinationen von 5 Zahlen auf n würfe zu verteilen, komme aber nicht weiter.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es ist wahrscheinlich einfacher, mit dem Gegenereignis zu arbeiten. Setzen wir als das Ereignis: "Nach Würfen ist Zahl noch nicht eingetreten", so ist dann zu bestimmen. Das dürfte nicht zu schwierig sein. Denk an das Prinzip von Inklusion und Exclusion.

Edit: Oh, ist in der Schulmathematik. Dann ist es vielleicht doch nicht so einfach.
 
 
laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

nach n Würfen ist i noch nicht eingetreten, aber alle anderen Ergebnisse mindestens einmal.
Das mach es m.E. schwer.
habe übrigens überlegt, ob das noch in die Schulmathematik gehört..

laila49
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mich nicht verrechnet habe kommt heraus.

Ich weiß allerdings nicht, wie man da mit Schulmitteln drauf kommt, vielleicht kann da eines der didaktisch erfahreneren Mitglieder weiterhelfen.

Edit: Der Clou an der Sache ist, dass die Wahrscheinlichkeiten von Schnitten der Ereignisse sich sehr einfach berechnen lassen. Was ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass nach würfen die 4 und die 1 noch nicht aufgetreten sind?

Wenn du selbst garkein Schüler mehr bist und das Prinzip von Inklusion und Exclusion kennst, wird die Aufgabe damit sehr einfach. Das allerdings selbst herzuleiten ist für Schüler wohl nicht so einfach.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das klingt doch sehr nach dem Sammelbilderproblem.

Viele Grüße
Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Wenn ich mich nicht verrechnet habe kommt heraus.

Man muss noch präzisieren "was" da herauskommt: Dies ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in den ersten Würfen jede Augenzahl mindestens einmal vorkommt. Wenn wir diesen Term mit bezeichnen, dann ist die Antwort auf die ursprüngliche Frage

Zitat:
Original von laila49
wie hoch ist eigentlich die Wahrscheinlichkeit, nach genau n Würfen mit einem Würfel zum ersten Mal jede Zahl mindestens einmal geworfen zu haben?

nicht , sondern . Augenzwinkern
laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

danke an alle.
bin kein Schüler mehr, sondern habe vor 50 Jahren mein Diplom gemacht.
da haben wir in Stochastik nur komische sigma-Algebren behandelt und die Wahrscheinlichkeit irgendwelcher Kartenverteilungen beim Skat.
Bin jetzt dabei, die Formeln nachzuvollziehen und viel klüger.

Laila49
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Hal, das habe ich übersehen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant an dieser Formel ist übrigens die Eigenschaft , was inhaltlich völlig klar, jedoch der Formel schwer anzusehen ist. Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir ist und somit nicht unmöglich !! Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Bei mir ist und somit nicht unmöglich !! Augenzwinkern

Ok, da spiel ich mal mit: Multipliziert mit ist damit bei dir

.

Komisch, aus irgendeinem unverständlichen Grund dachte ich, dass die Zahl links ganzzahlig sein muss. Big Laugh
laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

hat etwas gedauert, aber es stimmt tatsächlich:
aus der letzten Zeile folgt: !
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ein n-Tupel, welches jede Zahl aus {1,...,x} mit mindestens einmal enthält, ist ein günstiges Ergebnis. Die Anzahl aller möglichen n-Tupel mit Wiederholungen ist .

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller möglichen.

Sei N={1,...,n} und X={1,...,6}. Zu bestimmen ist die Anzahl der Abbildungen , so dass . Das ist die die Anzahl der Surjektionen. Im twelvefold way steht für diesen Fall die Formel

In der englischen Wikipedia schlägt man zu den Stirling-Zahlen zweiter Art kurz nach, dass

Demnach ergibt sich die Wahrscheinlichkeit

Für ist das

Setzt man voraus, dann ergibt sich
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