Wie bestimmt man den Kern und das Bild in dieser Aufgabe?

19.12.2018, 17:46

Juliane2002

Wie bestimmt man den Kern und das Bild in dieser Aufgabe?

Meine Frage:
Gegeben sei der Vektorraum

$\begin{eqnarray*} W = \{\begin{pmatrix} a && b \\ a && b \end{pmatrix} | a,b \in R \} \end{eqnarray*}$

mit der Basis

$\begin{eqnarray*} B = \{\begin{pmatrix} 1 && 0 \\ 1 && 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 && 1 \\ 1 && 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$

Sowie die darstellende Matrix

$\begin{eqnarray*} B = \{\begin{pmatrix} 1 && 2 \\ 0 && 0 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie den Kern von $\begin{eqnarray*} L_B \end{eqnarray*}$ und den Kern von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ , sowie dim(Bild(L)).

Meine Ideen:
Leider habe ich gar keine Ahnung wie ich dies Lösen soll, ich habe allerdings versucht den Kern von L_B zu berechnen, vielleicht stimmt dieser schon mal?

$\begin{eqnarray*} Kern(L_B)=\{r*\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \end{pmatrix}|r \in R\} \end{eqnarray*}$

Ich bin über jede Hilfe sehr dankbar. Dieses Thema mit den Abbildungen macht mich ziemlich fertig, sitze schon sehr lange an dieser Aufgabe.

19.12.2018, 18:00

Elvis

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Beim Kern liegst du nur knapp daneben. Es werden Matrizen abgebildet, und es ist $\begin{eqnarray*} Kern(L_B)=-2rB_1+rB_2=\begin{pmatrix} -r & r \\ -r & r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Das Bild von $\begin{eqnarray*} L_B \end{eqnarray*}$ ist das Erzeugnis von $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ , weil beide Basisvektoren in diesen UVR abgebildet werden, hat also die Dimension 1.
Bei solchen Aufgaben muss man nur die Nerven bewahren. Vektoren in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ sind Matrizen, das macht gar nix, Vektorraum ist Vektorraum, auch wenn die Vektoren Matrizen sind.

19.12.2018, 18:15

Juliane2002.

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Hallo Elvis,
danke für deine schnelle Antwort.
Wie kommst du auf
$\begin{eqnarray*} Kern(L_B)=-2rB_1+rB_2=\begin{pmatrix} -r & r \\ -r & r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Auch das mit dem Bild verstehe ich nicht so recht, wäre es möglich, dass du dies etwas mehr ausführst? Ich bin leider eine echte Niete in Mathe, buw ich kann mir das so schlecht vorstellen. Lineare Algebra ist einfach viel abstrakter als Analysis.

Willkommen im Matheboard! Du bist hier zweimal angemeldet, der User Juliane2002 (ohne Punkt) wird daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen

19.12.2018, 18:54

Elvis

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Zitat:

Original von Juliane2002.
Lineare Algebra ist einfach viel abstrakter als Analysis.

Das sehe ich genau andersrum, deshalb kämpfe ich fortwährend mit der Quantenfeldtheorie für Fortgeschrittene. Big Laugh

(https://electure-ms.studiumdigitale.uni-...Bgmf/html5.html)

Ausführung Teil 1 - Bestimmung des Bildes.
Die darstellende Matrix der linearen Abbildung verrät uns, dass der Basisvektor $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ auf sich selbst und der Basisvektor $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 2B_1 \end{eqnarray*}$ abgebildet wird. MERKE: IN DEN SPALTEN DER DARSTELLUNGSMATRIX STEHEN IMMER DIE BILDER DER BASISVEKTOREN. Wenn alle Basisvektoren auf skalare Vielfache eines Basisvektors abgebildet werden, wird das Bild der Abbildung von diesem einen Vektor aufgespannt, ist also 1-dimensional.

Ausführung Teil 2 - Bestimmung des Kerns.
Das hast du im Prinzip schon richtig gemacht, nur sind die Elemente von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ wie gesagt Matrizen, also muss auch der Kern Matrizen enthalten. MERKE: DIE KOMPONENTEN EINES KOMPONENTENVEKTORS SIND DIE KOEFFIZIENTEN EINES VEKTORS IN EINER LINEARKOMBINATION AUS BASISVEKTOREN. $\begin{eqnarray*} r\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1\end{pmatrix}=r\cdot (\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_1 \\ B_2\end{pmatrix})=-2rB_1+rB_2=\begin{pmatrix} -r & r \\ -r & r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Probe: $\begin{eqnarray*} L_B(\begin{pmatrix} -r & r \\ -r & r \end{pmatrix})=L_B(rB_2-2rB_1)=rL_B(B_2)-2L_B(B_1)=2rB_1-2rB_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dimensionen stimmen offensichtlich, denn $\begin{eqnarray*} 2=dim(W)=dim(Kern(L_B))+dim(Bild(L_B))=1+1 \end{eqnarray*}$

19.12.2018, 20:23

Juliane2002.

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Quantenfeldtheorie für Fortgeschrittene hört sich spaßig an, Nicht :=). Ist aber bestimmt interessant ?

Ich finde dieses Thema hier erschenkend kompliziert, kann es mir leider nicht vorstellen nur ein Schema hinter deiner Lösung erkennen, was wohl erstmal ausreichen muss

Könntest du mir nun noch erklären, wie man auf den Kern von L kommt?

19.12.2018, 21:16

Juliane2002.

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Achso, eins ist mir noch aufgefallen bei "MERKE: IN DEN SPALTEN DER DARSTELLUNGSMATRIX STEHEN IMMER DIE BILDER DER BASISVEKTOREN"

Sind das wirklich die Bilder? Denn um eine Darstellugsmatrix zubilden, bildet man doch die Bilder der Basisvektoren und setzt sie dann in die Koordinatenabbildung ein?

19.12.2018, 22:15

Elvis

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Mehr kann ich nicht erklären, berechnen oder aufschreiben. Alle Fragen sind vollständig und richtig beantwortet, du musst nur noch verstehen.
Ich unterscheide nicht zwischen Abbildung L und ihrer Darstellungsmatrix, denn das ist wegen $\begin{eqnarray*} L(x)=L_B\cdot x \end{eqnarray*}$ dasselbe.

19.12.2018, 22:33

Juliane2002.

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OK

Das mit L verstehe ich zwar nun garnicht , weile was ist nun x? Die ganzen verschiedenen Formeln verwirren, vlt weil du eben nicht unterscheidest, ist es für mich als Neuling zu schwer
Danke für die Hilfe

20.12.2018, 07:11

Elvis

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Hilfe bei Aufgaben ersetzt nicht das Studium von Büchern und Vorlesungen und auch nicht das eigene Denken. Wenn man sehr kleinlich ist, muss man zwischen linearer Abbildung und Darstellungsmatrix und zwischen Vektor und Komponentendarstellung unterscheiden. Diese Begriffe müssen dir klar sein, bevor du eine Aufgabe bearbeiten kannst.
1+1=2 ist eine Zifferndarstellung für eine Addition. Für den Beweis braucht die Principia Mathematica hunderte von Seiten (genau 360 Seiten).

20.12.2018, 10:30

Sabina16

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Hallo Elvis
Damit hast du natürlich vollkommen recht. Jedenfalls habe ich nun neue Erkenntnisse gesammelt und würde diese gerne mit dir teilen.
Und zwar war ich gerade bei der Sprechstunde des Assistenten und der hat mit mir diese Aufgabe einmal durchgerechnet.

Der Kern von $\begin{eqnarray*} L_B \end{eqnarray*}$ lautet
$\begin{eqnarray*} Kern(L_B)=\{r*\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \end{pmatrix}|r \in R\}\\ \end{eqnarray*}$

da man hier nur den Kern einer Matrix bestimmen muss, welcher unabhängig der Form von W ist.

Und der Kern von L selbst ist: $\begin{eqnarray*} Kern(L)=r\cdot (\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_1 \\ B_2\end{pmatrix})=-2rB_1+rB_2=\begin{pmatrix} -r & r \\ -r & r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun verstehe ich den ganzen Spaß auch, er hat es mir mit einem Diagramm erklärt, was sehr geholfen hat.

Nun habe ich natürlich das Problem, dass zwei wahrscheinlich sehr erfahrene Menschen, unterschiedliche Dinge sagen, deshalb wollte ich dich noch einmal fragen, ob du dich geirrt hast oder ob der Assistent un einen Fehler gemacht hat.
Ich hoffe du liest dies hier noch.

Liebe Grüße
Jule

20.12.2018, 11:12

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@Sabina16: Du schriebst gestern

Zitat:

Sind das wirklich die Bilder? Denn um eine Darstellugsmatrix zubilden, bildet man doch die Bilder der Basisvektoren und setzt sie dann in die Koordinatenabbildung ein?

Das ist korrekt. Die Bilder der Basisvektoren werden mit Hilfe der Basis des Bildraumes dargestellt. Die dabei anfallenden Koeffizienten werden in die Matrix eingetragen.

20.12.2018, 11:16

Elvis

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Du kannst deinem Assistenten vertrauen, und du musst das auch tun, denn das was er dir beibringt, ist per Definition richtig. Wenn du eine andere Meinung vertreten würdest, gäbe das bei Aufgabenkorrekturen und bei Klausuren Punktabzug.

Meine unmaßgebliche Meinung dazu ist, dass eine Matrix ein rechteckiges Schema von Elementen aus einem Körper ist, über dem der Vektorraum lebt. Eine Matrix ist eine Matrix, und eine Matrix hat keinen Kern. Eine lineare Abbildung hat einen Kern, denn der ist definiert als Menge aller Elemente, die von der linearen Abbildung auf den Nullvektor abgebildet werden. Der Kern einer linearen Abbildung von V nach W ist ein Untervektorraum des Vektorraums V. Matrizen und Komponentenvektoren sind m.E. bloße Hilfsmittel, um bei gegebener Basis lineare Abbildungen und Vektoren darzustellen. Die Darstellungen erlauben uns, Aufgaben algorithmisch zu lösen, sie sind nützlich, aber sie sind nicht die eigentlichen Objekte unseres mathematischen Interesses.

20.12.2018, 11:20

Sabina16

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Gut, dann haben wir dies geklärt, ich bedanke mich für die Hilfe

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