Matrizen, Beweis

19.12.2018, 19:15	EnergyMaths	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen, Beweis Meine Frage: Zeigen Sie, dass das Produkt zweier Matrizen verschwinden kann obwohl keine der beiden Matrizen verschwindet. Meine Ideen: A*B = 0 Die Hauptdiagonalen von A und B müssten 0 sein?
19.12.2018, 19:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Müssen sie nicht.
19.12.2018, 19:35	Mathsenergy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte sonst keinen Ansatz. Einen Tipp vielleicht?
19.12.2018, 19:38	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
du müsstest doch eigentlich nur ein Beispiel geben für 2 Matrizen deren Produkt verschwindet,aber die beide keine Nullmatrizen sind. Benutze 2 Diagonalmatrizrn.
19.12.2018, 19:38	Mathsenergy	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hätte man in den Matrizen am Anfang und am Ende keine Einträge der Rest dazwischen sind Nullen?
19.12.2018, 19:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Probiere 2x2-Matrizen mit vielen Nullen und wenigen Einsen.
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19.12.2018, 20:00	Mathsenergy	Auf diesen Beitrag antworten »
(1 0 ) ( 0 0) (0 0) * ( 0 1) =0?
19.12.2018, 20:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht noch ein bisschen zum Hintergrund. A und B dürfen nicht invertierbar sein (warum?) Das heißt der Rang von A und B muss 1 sein. Also probiert man es mit Matrizen, die jeweils eine Nullspalte enthalten.
19.12.2018, 22:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
... oder Nullzeile. Das Beispiel ist richtig, aber es kommt die Nullmatrix als Produkt heraus.
20.12.2018, 23:51	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Die invertierbaren Matrizen sind die quadratischen Matrizen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \det(A)\ne 0 \end{eqnarray}$ . Die invertierbaren Matrizen bilden eine Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe. Da das Produkt von zwei Gruppenelementen wieder in dieser Gruppe liegen muss, kann es niemals die Nullmatrix sein. Angenommen, nur eine der beiden Matrizen in $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ ist invertierbar. Das sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , andernfalls kann man transponieren: $\begin{eqnarray} AB=0 \iff (AB)^T=0^T \iff B^T A^T = 0. \end{eqnarray}$ Die Transponierte einer invertierbaren Matrix ist auch invertierbar. Eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ repräsentiert einen Vektorraum-Automorphismus. Eine Vektorraum-Automorphismus ist natürlich injektiv, besitzt also einen trivialen Kern. Somit kann kein Spaltenvektor von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ zum Nullvektor werden. Daher ist $\begin{eqnarray} AB=0 \end{eqnarray}$ erst recht ausgeschlossen. Die allgemeine lineare Gruppe ist die Einheitengruppe des Matrizenrings der quadratischen Matrizen. Sei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Ring und $\begin{eqnarray} G=R^ \end{eqnarray}$ die Einheitengruppe des Rings. Sei $\begin{eqnarray} x\in R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ . Angenommen, $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ wäre ein Nullteiler, d.h. es gäbe ein $\begin{eqnarray} x\ne 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} gx=0 \end{eqnarray}$ . Nun würde gelten: $\begin{eqnarray} 0 = g^{-1}\cdot 0 = g^{-1}\cdot (gx) = (g^{-1} g)x = x. \end{eqnarray}$ Das ist ein Widerspruch, da wir $\begin{eqnarray} x\ne 0 \end{eqnarray*}$ gefordert hatten. Eine Einheit (ein Element der Einheitengruppe) kann niemals ein Nullteiler sein.

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