Zeigen, dass Abbildung nicht linear ist

20.12.2018, 09:38	Tim_miT	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass Abbildung nicht linear ist Meine Frage: Hallo, Ich habe folgende Frage zu linearen Abbildungen, ich weiß zwar wie ich an Hand einer konkreten Funktion zeigen kann das diese nicht linear ist mit f(x) + f(x?) =/= f(x+x?) bzw. f(ax) =/= af(x). Aber ich weiß nicht wie man das zeigen kann wenn nur Skizzen/Graphen gegeben sind wie in der Aufgabe im Anhang. Vielen Dank schon mal im Voraus. Meine Ideen: Ich habe bis jetzt nur Vermutungen. Die Abbildung kann nicht linear sein weil, das B und das C auf gleicher Höhe sind und die Abbildung jetzt symmetrisch ist und nicht mehr ?verzogen? ist?
20.12.2018, 14:00	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe den Beweis der Nichtlinearität nicht erbracht. Aber man kann anhand der Skizze einige Fakten unmittelbar ablesen, die für den Beweis Verwendung finden. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bezeichnungen: Originalpunkte: $\begin{eqnarray} (A_1\|A_2) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (B_1\|B_2) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (C_1\|C_2) \end{eqnarray}$ Bildpunkt: $\begin{eqnarray} (A'_1\|A'_2) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (B'_1\|B'_2) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (C'_1\|C'_2) \end{eqnarray}$ . Abbildungsmatrix (sofern exististent): $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Folgendes kann man aus der Skizze ablesen: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Erstens: Die y-Koordinanten der Bildpunkte B' und C' sind identisch: $\begin{eqnarray} \underbrace{M_{21}B_1+M_{22}B_2}_{B'_2}=\underbrace{M_{21}C_1+M_{22}C_2}_{C'_2} \end{eqnarray}$ Umstellen liefert $\begin{eqnarray} M_{21}=M_{22}\cdot \underbrace{\tfrac{C_2-B_2}{B_1-C_1}}_{\text{positiv}} \end{eqnarray}$ _____________________________Formel A Die Positivität des Bruches lässt sich aus der Skizze ablesen. Somit folgt aus Formel A, dass die Matrixelemente $\begin{eqnarray} M_{21} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_{22} \end{eqnarray}$ das gleiche Vorzeichen haben müssen. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Zweitens: Der Mittelwert der beiden x-Koordinaten der Bildpunkte B' und C' ist identisch mit der x-Koordinate des Bildpunktes A': $\begin{eqnarray} \underbrace{M_{11}(B_1+C_1)+M_{12}(B_2+C_2)}_{B'_1+C'_1}=2\cdot \underbrace{(M_{11}A_1+M_{12}A_2)}_{A'_1} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} M_{11}=-M_{12}\tfrac{B_2+C_2-2A_2}{B_1+C_1-2A_1} \end{eqnarray}$ _____________________________Formel B ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Drittens: Die Abbildung ändert die Orientierung der Dreiecke. D.h. die Determinanten der 2x2-Abbildungsmatrix M (sofern sie existiert) muss negativ sein, also: $\begin{eqnarray} \det(M)=M_{11}M_{22}-M_{12}M_{21}<0 \end{eqnarray}$ _____________________________Formel C -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
20.12.2018, 14:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \vec {0C}=\lambda \vec{0A}\Rightarrow f(\vec {0C})=f(\lambda \vec{0A})=\lambda f (\vec{0A}) \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ linear. Das sieht im Bild aber nicht so aus.
21.12.2018, 09:13	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis Bei deinem Beweis setzt du voraus, dass die Gerade, welche die Punkte A und C verbindet, durch den Nullpunkt geht. Das ist auf den ersten Blick richtig. Wenn das aber nicht exakt stimmte, würde dein Argument nicht wirken.

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