Beschränktes Integral über Sinus

20.12.2018, 10:54

te one

Beschränktes Integral über Sinus

Hallo,

ich hänge seit Tagen an einer Übungsaufgabe und hoffe auf den entsprechenden Tipp von euch. Integrieren ist bei mir schon viele Jahre her - vermutlich übersehe ich etwas wesentliches.

Es geht um die Änderung der Pose eines Roboters im (x,y)-Koordinatensystem mit Ausrichtung $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ in der Zeit von t1 bis t2.
Es gilt jeweils:
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Für einen gegebenen Differential-Drive-Roboter (konstante Geschwindigkeiten $\begin{eqnarray*} v_l, v_r \end{eqnarray*}$ für das linke/rechte Rad) weiß ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} \Delta x = \int_{t1}^{t2} cos \theta(t)*v(t) dt = \frac{d}{2} \frac{v_r + v_l}{v_r - v_l} (sin \theta (t_2) - sin \theta (t_1)) \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} v(t) = \frac{1}{2} (v_r(t) + v_l(t)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega (t) = \frac{1}{d}(v_r(t) - v_l(t)) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \dot{\theta} (t) = \omega (t) \end{eqnarray*}$

Meine erste Frage: Wie wurde dieses Integral aufgelöst? Egal wie ich es versuche, ich komme nicht auf die $\begin{eqnarray*} \frac{d}{2}... \end{eqnarray*}$

Wenn ich das verstanden habe, muss ich selbst Aufgaben lösen - wäre dann nur schön wenn mal jemand drüber schaut, ob ich richtig liege smile

20.12.2018, 11:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von te one
konstante Geschwindigkeiten $\begin{eqnarray*} v_l, v_r \end{eqnarray*}$ für das linke/rechte Rad)

Damit sind auch $\begin{eqnarray*} v(t) = \frac{1}{2} (v_r(t) + v_l(t)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega (t) = \frac{1}{d}(v_r(t) - v_l(t)) \end{eqnarray*}$ konstant, und somit $\begin{eqnarray*} \theta(t) \end{eqnarray*}$ linear. Womit das ganz simpel die Integration einer (skalierten) Kosinusfunktion ist.

20.12.2018, 11:09

URL

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RE: beschränktes Integral über Sinus
Zunächst ist $\begin{eqnarray*} v(t) \end{eqnarray*}$ konstant, kann also aus dem Integral gezogen werden. Dann wird substituiert $\begin{eqnarray*} u=\Theta(t) \end{eqnarray*}$
Edit: Oder so. Bin weg Wink

20.12.2018, 11:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von URL
Zunächst ist $\begin{eqnarray*} v(t) \end{eqnarray*}$ konstant, kann also aus dem Integral gezogen werden. Dann wird substituiert $\begin{eqnarray*} u=\theta(t) \end{eqnarray*}$

Ganz genau, denn der erwähnten Konstantheiten $\begin{eqnarray*} \omega(t)=\dot{\theta}(t) = \omega = const \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} v(t)=v=const \end{eqnarray*}$ wegen kann man schreiben

$\begin{eqnarray*} \Delta x = \frac{v}{\omega} \int\limits_{t_1}^{t_2} \cos(\theta(t))\dot{\theta}(t) ~ \dd t = \frac{v}{\omega} \Big[ \sin(\theta(t)) \Big]_{t=t_1}^{t_2} = \frac{v}{\omega} \left( \sin(\theta(t_2))-\sin(\theta(t_1)) \right) \end{eqnarray*}$ .

Bleibt nur noch das Einsetzen der Werte: $\begin{eqnarray*} \frac{v}{\omega} = \frac{\frac{1}{2}\left(v_r+v_l\right)}{\frac{1}{d}\left(v_r-v_l\right)} = \frac{d\left(v_r+v_l\right)}{2\left(v_r-v_l\right)} \end{eqnarray*}$ .

20.12.2018, 17:51

te one

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Okay, vielen Dank. Um das nochmal zu rekapitulieren:

Ich setze $\begin{eqnarray*} \frac{\dot{\theta}}{\omega} = 1 \end{eqnarray*}$ in das Integral. Dann ziehe ich das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\omega} \end{eqnarray*}$ als Konstante aus dem Integral. Das $\begin{eqnarray*} \dot{\theta} \end{eqnarray*}$ lasse ich im Integral damit die Stammfunktion ein Sinus ist.

Nun meine Frage: Wie komme ich bei soetwas auf die Stammfunktion ohne "gezieltes Raten" und dann ableiten? Das muss man schon sehen, oder?

20.12.2018, 18:10

HAL 9000

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Ich wiederhole nochmal:

Zitat:

Original von HAL 9000
Womit das ganz simpel die Integration einer (skalierten) Kosinusfunktion ist.

Da braucht es nun wirklich keine Geistesblitze, um das zu bewältigen.

20.12.2018, 19:24

te one

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Da hast du recht. Wenn man das Integrieren aber nie gelernt hat (weder Schule noch Studium), dann fehlen einfach die Basics. Sobald die Semesterferien gekommen sind werde ich mir das alles nochmal zu Gemüte führen. Vielleicht findet sich auch irgendwo ein Vorkurs - ist einfacher als Selbststudium.

Gerade versuche ich das ganze für einen autoähnlichen Roboter zu lösen mit $\begin{eqnarray*} \phi, v, l = const. \end{eqnarray*}$

Dazu muss ich
$\begin{eqnarray*} \Delta x = \int_{t_1}^{t_2} cos \theta (t) * v \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Delta y = \int_{t_1}^{t_2} sin \theta (t) * v \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Delta \theta = \int_{t_1}^{t_2} \frac{tan \Phi(t)}{l} * v \end{eqnarray*}$
berechnen. Schon fehlt mir wieder der Ansatz...
Für diese Aufgaben habe ich leider auch keine Musterlösung um meine Rechnung prüfen zu können.

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