Verwandte geometrische Reihe

20.12.2018, 13:42

Mathemalzbier

Verwandte geometrische Reihe

Meine Frage:
Hallo,

kann mir bitte jemand erklären wie man von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } kq^k \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{q}{(1-q)^2} \end{eqnarray*}$ kommt?

Meine Ideen:
Ich weiß das $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ ist, aber kann nicht nachvollziehen wie man auf dieses Ergbenis kommt.

LaTeX-Tags eingesetzt. Steffen

20.12.2018, 14:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathemalzbier
Ich weiß das $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ ist

Falsch, es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ . Ohne Index 0 ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} q^k = \frac{q}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

Im Innern des Konvergenzintervalls (hier: $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ ) ist eine Potenzreihe beliebig oft differenzierbar, das trifft auch auf $\begin{eqnarray*} f(q)=\frac{1}{1-q}=\sum_{k=0}^{\infty} q^k \end{eqnarray*}$ zu. Es folgt

$\begin{eqnarray*} f'(q)=\frac{1}{(1-q)^2}=\sum_{k=1}^{\infty} kq^{k-1} \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ multipliziert ergibt sich $\begin{eqnarray*} \frac{q}{(1-q)^2}=\sum_{k=1}^{\infty} kq^k \end{eqnarray*}$ .

20.12.2018, 21:52

Finn_

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Wendet man zum wiederholten Male die Umkehrtransformation
$\begin{eqnarray*} T(f)(q) = \int_0^q \,\frac{1}{q} f(q)\,\mathrm dq \end{eqnarray*}$
auf die Reihe
$\begin{eqnarray*} f(q) = \sum_{k=1}^\infty q^k \end{eqnarray*}$
an, dann lässt sich daraus übrigens unter weitergehender Überlegung die erste Integraldarstellung der Zeta-Funktion abgewinnen:
$\begin{eqnarray*} \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{\mathrm e^x-1}\,\mathrm dx. \end{eqnarray*}$

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