Fluss eines Vektorfeldes durch geschlossene Oberfläche

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Saltydog Auf diesen Beitrag antworten »
Fluss eines Vektorfeldes durch geschlossene Oberfläche
Hallo mal wieder.
Ich möchte gerne den Fluss eines Vektorfeldes durch die Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge 1 bestimmen (Aufgabe siehe Bild im Anhang).

Ich würde gerne strikt nach Formel vorgehen. Aber ich weiß nicht wie ich berechnen soll. Ich habe in den Übungen davor über bestimmt. Wobei ich hier immer die Oberfläche als Pot. angenommen habe, hier also . Aber das hilft mir hier überhaupt nicht weiter.

In der Lösung wird vorgeschlagen, den Fluss durch alle Oberflächen zu summieren. Leider komme ich mit dem Konzept nicht so ganz zurecht.

Es wird zunächst der Fluss durch die Oberflächen des Würfels in der x,y-Ebene bei z=0 berechnet:



Hier verstehe ich nicht warum verwendet wird bzw. was mit meinem N passiert ist.

Ich würde mich wirklich freuen wenn ihr mir für diesen Aufgabentyp das allgemeine Vorgehen erklären würdet, damit ich mir ein "Kochrezept" schreiben kann. Speziell, wie komme ich auf N wenn ich nur F gegeben habe.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition des Oberflächenintegrals lautet

wobei eine Parametrisierung der Oberfläche ist und

der Normalenvektor. Dazu ist der Normaleneinheitsvektor und das skalare Flächenelement.

Das Integral wird nun in sechs Summanden zerlegt, jeweils einen für jede Seite des Würfels . Für jedes dieser Integrale wird einfach eine Parametrisierung mit Definitionsbereich verwendet, dergestalt dass der Normalenvektor nach außen zeigt.

Für die untere Seite ist das


Demnach ist , und . Dann ergibt sich

und

Dann ergibt sich das Skalarprodukt und

Die Prozedur wird für die anderen fünf Seiten wiederholt.

Man hätte für die untere Seite natürlich auch

wählen können.
 
 
Saltydog Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fluss eines Vektorfeldes durch geschlossene Oberfläche
Hallo Finn,
Danke für deine ausführliche Antwort.

Für die untere Seite kann ich alles gut nachvollziehen, da z=0.
Wenn ich dann auf der Oberseite den Ortsvektor für z=1 aufstellen komme ich auf:


Wenn ich dann das Integral in den Grenzen u(0;1) und v(0;1) berechne, erhalte ich -0,25.
Das ist eindeutig falsch. Der Normalenvektor soll ja auch nach außen zeigen, tut er aber aber nicht wegen z(u,v)=-1.
Mit meinem Wissen komm ich an der Stelle nicht weiter. Habe ich falsch parametrisiert?

Wie kommst du auf
?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Oben muss es natürlich

sein. Wenn und vertauscht werden, dann dreht sich speziell bei dieser Aufgabe der Normalenvektor um.

Wenn man anstelle für einsetzt, dann wird dieser Parameter in umgekehrter Richtung durchlaufen. Dadurch dreht sich der Normalenvektor um.
Saltydog Auf diesen Beitrag antworten »

Gilt das mit 1-u auch nur bei dieser Aufgabe und könntest du bitte versuchen dass grob herzuleiten?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die Parametertransformation

Sei . Nach der Kettenregel
gilt

und


Setzt man für ein, dann ergibt sich
Saltydog Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht.

Wie muss ich vorgehen wenn ich den Ortsvektor oder Stützvektor auf die Unterseite einer Ebene legen möchte, die im Nullpunkt liegt?
Wenn es geht, erkläre es bitte so einfach wie möglich.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Statt an der Parametrisierung zu drehen, bis die Orientierung stimmt, würde ich eher das Integralvorzeichen anpassen. Grundsätzlich kann in einem zweidimensionalen -Koordinatensystem das Einheitsquadrat durch



parametrisiert werden. Jetzt gehen wir in den -Raum und parametrisieren die sechs Würfelseiten entsprechend. Ich bezeichne die Seiten so, wie sie der Würfel in der Ansicht aus deinem ersten Beitrag zeigt: unten, oben, vorne, hinten, links, rechts. Jetzt die sechs Parametrisierungen. Hierbei variieren jeweils im Intervall .













Jetzt die Normalenvektoren:



Dieser Normalenvektor zeigt nach oben, also in den Würfel hinein. Hier muß beim Integral daher eine Vorzeichenkorrektur erfolgen.



Dieser Normalenvektor zeigt nach oben, also vom Würfel weg. Hier stimmt das Integralvorzeichen.

Und so kann man das auch bei den vier restlichen Würfelseiten machen. Dann berechnest du die Summe vorzeichengerecht. In nicht korrekter, aber hier wohl verständlicher Kurznotation:

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