Kovariante Ableitung für zwei Vektorfelder

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21.12.2018, 13:26	Zero69	Auf diesen Beitrag antworten »
Kovariante Ableitung für zwei Vektorfelder Meine Frage: Hallo an jeden der mir helfen möchte. Ich schreibe eine Seminararbeit über die Kovariante Ableitung. Die Frage die ich habe ist Skript "Differentialgeometrie für Geodäten Wintersemester 2011/12", was im Internet unter diesen Namen zu finden ist. Es geht um die Kovariante Ableitung von 2 Vektorfeldern: S.38: Definition Kovariante Ableitung: siehe Anhang 1. S 38: Zu beweisende Proposition: siehe Anhang 2. Meine Ideen: In diesem Beweis wird nun ganz am Anfang ausgenutzt das $\begin{eqnarray} B \circ c(t)= \sum\limits_{i=1}^{} ( \beta_{i} \frac{\partial \phi}{dx_{i}})( \widetilde{c}(t)) \end{eqnarray}$ gilt. Ich kann das leider nicht nachvollziehen warum das gilt. Im Anhang 3 sieht man nochmal den kompletten beweis. Zur Information: Den Beweis muss ich auch nicht unbedingt so lösen. Ich bin für neue Ideen immer offen. Mein erfolgloser Ansatz: Voraussetzung $\begin{eqnarray} c'(0)= A_{p} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \nabla_{A} B = \Pi_{p}(\frac{d}{dt} B(c(t))\vert_{t=0} )= \Pi_{p}(B'(c(0))c'(0))= \Pi_{p}(B'(c(0))A_{p}) \end{eqnarray}$ Nun könnte man die Orthogonalprojektion ausführen. Ich bin mir nur nicht sicher ob ich die Kettenregel richtig ausgeführt habe. Naja schaut euch das mal an würde mich freuen wenn wir das zusammen lösen können.
21.12.2018, 13:39	Zero69	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovariante Ableitung für zwei Vektofelder Anhang 3 wurde nicht hochgeladen. 2ter Versuch:
21.12.2018, 19:25	Zero69	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovariante Ableitung für zwei Vektofelder Trotzdem keiner da der mir helfen kann
22.12.2018, 17:20	Zero69	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovariante Ableitung für zwei Vektofelder Hey Leute hat keiner ein Ansatz oder iwie eine Lösung?
22.12.2018, 20:26	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich rechne das mal vor, da es mir so am besten verständlich erscheint, da so viele Nebenrechnungen vorkommen. Sei $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ eine Kurve mit $\begin{eqnarray} p=c(0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_p = c'(0) \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} (\nabla_A B)(p) = \frac{D}{\mathrm dt}(B\circ c)(0) = \Pi_{\gamma(0)}((B\circ c)'(0)). \end{eqnarray}$ Hierbei ist $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ eine weitere Kurve, so dass $\begin{eqnarray} B\circ c \end{eqnarray}$ ein Vektorfeld längs von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ist. Aber $\begin{eqnarray} B\circ c \end{eqnarray}$ ist doch ein Vektorfeld längs von $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ . Dann kann $\begin{eqnarray} \gamma=c \end{eqnarray}$ gesetzt werden. Somit ergibt sich $\begin{eqnarray} (\nabla_A B)(p) = \Pi_p ((B\circ c)'(0)). \end{eqnarray}$ So, jetzt haben wir aber eine lokale Karte $\begin{eqnarray} \varphi\colon U\to S \end{eqnarray}$ vorliegen. Die wird hier $\begin{eqnarray} \varphi(x_1,x_2) \end{eqnarray}$ geschrieben, man könnte aber auch $\begin{eqnarray} \varphi(u_1,u_2) \end{eqnarray}$ schreiben. Die $\begin{eqnarray} g_i(x) = \frac{\partial\varphi}{\partial x_i}(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2) \end{eqnarray}$ sind die Tangentialbasisvektoren dieser Karte. Nun möchten wir die Kurve $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ durch eine Kurve $\begin{eqnarray} \tilde c \end{eqnarray}$ beschreiben, welche in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ verläuft. Daher wird $\begin{eqnarray} \tilde c \end{eqnarray}$ gemäß $\begin{eqnarray} c = \varphi\circ \tilde c \end{eqnarray}$ auf die gekrümmte Fläche gehoben. Umstellen bringt $\begin{eqnarray} \tilde c = \varphi^{-1}\circ c \end{eqnarray}$ . Dann haben wir jetzt $\begin{eqnarray} (\nabla_A B)(p) = \Pi_p((B\circ\varphi\circ\tilde c)'(0)). \end{eqnarray}$ Bei $\begin{eqnarray} B\circ\varphi \end{eqnarray}$ handelt es sich aber um die lokale Darstellung von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . D.h. es gilt $\begin{eqnarray} (B\circ\varphi)(x) = \sum_i \beta_i(x) g_i(x). \end{eqnarray}$ Nach der Produktregel gilt $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\beta_i g_i) = \frac{\mathrm d\beta_i}{\mathrm dt}g_i+\beta_i \frac{\mathrm dg_i}{\mathrm dt}. \end{eqnarray}$ Nach der mehrdimensionalen Kettenregel ergibt sich dabei $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm d\beta_i}{\mathrm dt} = \sum_j \frac{\partial\beta_i}{\partial x_j}\frac{\mathrm d\tilde c_j}{\mathrm dt} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm dg_i}{\mathrm dt} = \sum_j \frac{\partial g_i}{\partial x_j}\frac{\mathrm d\tilde c_j}{\mathrm dt}. \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} A_p = c'(0) \end{eqnarray}$ ergibt sich $\begin{eqnarray} \alpha_i = \frac{\mathrm d\tilde c_j}{\mathrm dt} \end{eqnarray}$ , das wurde in der Vorbetrachtung gezeigt. Dann sind wir jetzt bei $\begin{eqnarray} (\nabla_A B)(p) = \Pi_p\left(\sum_{ij} \alpha_j\frac{\partial\beta_i}{\partial x_j} g_i + \sum_{ij}\alpha_j\beta_i\frac{\partial g_i}{\partial x_j}\right). \end{eqnarray}$ Die Projektion ist eine lineare Abbildung. Der linke Term ist eine Linearkombination aus der Tangentialbasis. Auf diesen ist Vektor ist die Projektion wirkungslos, da er schon im Tangentialraum liegt. Somit erhalten wir $\begin{eqnarray} (\nabla_A B)(p) = \sum_{ij} \alpha_j\frac{\partial\beta_i}{\partial x_j} g_i + \sum_{ij}\alpha_j\beta_i\Pi_p\left(\frac{\partial g_i}{\partial x_j}\right). \end{eqnarray}$ Die verbleibende Projektion stellen wir einfach als Linearkombination aus der Tangentialbasis dar und für die Koeffizienten dieser Linearkombination schreiben wir einfach $\begin{eqnarray} \Gamma_{ij}^k \end{eqnarray}$ . Demnach gilt $\begin{eqnarray} \Pi_p\left(\frac{\partial g_i}{\partial x_j}\right) = \Pi_p\left(\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\right) = \sum_k \Gamma_{ij}^k g_k. \end{eqnarray}$ Im linken Term führen wir die Indexumbenennung $\begin{eqnarray} i:=k \end{eqnarray}$ durch. Jetzt ergibt sich $\begin{eqnarray} (\nabla_A B)(p) = \sum_{kj} \alpha_j\frac{\partial\beta_k}{\partial x_j} g_k + \sum_{ij}\alpha_j\beta_i\sum_k \Gamma_{ij}^k g_k \end{eqnarray}$ und daher gewünschte Resultat $\begin{eqnarray} (\nabla_A B)(p) = \sum_k\left(\sum_j \alpha_j\frac{\partial\beta_k}{\partial x_j} + \sum_{ij}\alpha_j\beta_i \Gamma_{ij}^k \right)g_k \end{eqnarray}$ Das ist die lokale Darstellung der kovarianten Ableitung.
22.12.2018, 21:41	Zero69	Auf diesen Beitrag antworten »
Krass hast du richtig gut gemacht Respekt Ich verstehe aber nicht warum B verkettet mit phi gleich B ist Da steht ja eigentlich B( phi( cwelle(x))) also müssen wir doch für p= phi(cwelle) Setzen für B(p).
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23.12.2018, 00:04	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist ein Vektorfeld, das jedem Punkt $\begin{eqnarray} p\in S \end{eqnarray}$ auf der gekrümmten Fläche $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ einen Vektor $\begin{eqnarray} B(p) \end{eqnarray}$ zuordnet, welcher im Tangentialraum $\begin{eqnarray} T_p S \end{eqnarray}$ liegt. Hat man nun eine lokale Karte $\begin{eqnarray} \varphi\colon U\to S \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \tilde B = B\circ\varphi \end{eqnarray}$ die lokale Darstellung von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Als Linearkombination ist das $\begin{eqnarray} \tilde B(x) = \sum_{i=1}^2\beta_i(x)g_i(x), \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} (g_1,g_2) \end{eqnarray}$ der gemäß $\begin{eqnarray} g_i = \frac{\partial\varphi}{\partial x_i} \end{eqnarray}$ induzierte Rahmen ist, das ist eine Tangentialbasis an jedem Punkt $\begin{eqnarray} p=\varphi(x) \end{eqnarray}$ . Man beachte $\begin{eqnarray} B\colon S\to TS \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \tilde B\colon U\to TS \end{eqnarray}$ . Es hat sich eingebürgert, anstelle von $\begin{eqnarray} \tilde B(x) \end{eqnarray}$ einfach $\begin{eqnarray} B(x) \end{eqnarray}$ zu schreiben, wobei der Unterschied zu $\begin{eqnarray} B(p) \end{eqnarray}$ stillschweigend als klar empfunden wird. Diese Ungenauigkeit taucht allgemein im Zusammenhang mit der Kettenregel auf.
23.12.2018, 15:05	Zero69	Auf diesen Beitrag antworten »
heißt das dann das $\begin{eqnarray} B(p)=\sum\limits_{i=1}^{2} \beta_{i}(p)\frac{\partial \phi}{\partial x_{i}}( \phi^{-1}(p)) \end{eqnarray}$ ? Oder ist das schon die lokale Darstellung ? Die Betas sind doch dann die Koeffizentenfunktionen die von V in die reelen Zahlen abbildet oder ? mit p=phi(x) folgt ja dann auch $\begin{eqnarray} B(\phi(x))=\sum\limits_{i=1}^{2} \beta_{i}(\phi(x))\frac{\partial \phi}{\partial x_{i}}( \phi^{-1}(\phi(x))) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} B(\phi(x))=\sum\limits_{i=1}^{2} \beta_{i}(\phi(x))\frac{\partial \phi}{\partial x_{i}}( x) \end{eqnarray}$ bzw. das die Gleichheit mit B(p) gilt oder ? Wie kommt man auf die Gleichheit p=phi(x)?
24.12.2018, 11:15	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Neh. Die $\begin{eqnarray} \beta_i(x) \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} \beta_i\colon U\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} U\subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ offen ist. Wenn schon, dann muss es $\begin{eqnarray} \beta_i(\varphi^{-1}(p)) \end{eqnarray}$ sein. Wenn die Parametrisierung $\begin{eqnarray} \varphi\colon U\to S \end{eqnarray}$ gegeben ist, dann ist $\begin{eqnarray} p=\varphi(x) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x=\varphi^{-1}(p) \end{eqnarray}$ . Entweder der Punkt $\begin{eqnarray} p\in S \end{eqnarray}$ ist gegeben oder die Stelle $\begin{eqnarray} x\in U \end{eqnarray}$ . Richtig ist demnach $\begin{eqnarray} B(p) = \sum_{i=1}^2\beta_i(\varphi^{-1}(p)) \cdot g_i(\varphi^{-1}(p)) = \sum_{i=1}^2 (\beta_i\circ\varphi^{-1})(p) \cdot (g_i\circ\varphi^{-1})(p), \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} g_i = \frac{\partial\varphi}{\partial u_i} \end{eqnarray}$ . Übrigens muss die Koordinatendarstellung auch wieder von der Tupel-wertigen Funktion $\begin{eqnarray} \beta\colon U\to\mathbb R^2,\quad \beta(x) := (\beta_1(x),\beta_2(x)) = \sum_{i=1}^2 \beta_i(x)\mathbf e_i, \end{eqnarray}$ unterschieden werden. Diese Tupel-wertige Funktion ist die eigentliche Darstellung. Es ist in der Differentialgeometrie so, dass die Mannigfaltigkeit $\begin{eqnarray} M=S \end{eqnarray}$ auch abstrakt sein kann, also nicht in den $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ eingebettet sein muss. Dann ist auch die Karte $\begin{eqnarray} \varphi\colon U\to S \end{eqnarray}$ abstrakt. Auch die Tangentialvektoren können wir dann nicht in den Händen halten. Was wir in den Händen halten können, sind lediglich Koordinatendarstellungen, Kartenwechselabbildungen und Komponenten-Tupel von Vektoren. Das ist wie bei Zahlen. Mit Zahlen selbst rechnet man ja nicht. Was man in den Händen hält, sind die Darstellungen der Zahlen im Stellenwertsystem. Es gibt dann Wechselabbildungen, mit denen man von einem Stellenwertsystem ins andere umrechnen kann. Der Witz dabei ist, dass man die eigentliche Mannigfaltigkeit nie zu Gesicht bekommt. Man rechnet nur mit Tupeln bzw. Funktionen $\begin{eqnarray} \mathbb R^m\to\mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Die ganze lineare Algebra und Differentialgeometrie dadrüber ist ein geistiges Konstrukt. Die Funktionen $\begin{eqnarray} \alpha_j(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta_i(x) \end{eqnarray}$ als Komponenten der Koordinatendarstellungen sind tatsächlich gegeben. Aus diesem Grund muss das Argument und der Funktionswert in einem Koordinatenraum liegen, auch wenn die Mannigfaltigkeit abstrakt ist. Das ist bei einer abstrakten Mannigfaltigkeit auch das einzige was gegeben ist. Schaut man sich die Koordinatendarstellung der kovarianten Ableitung an, da sind zusätzlich nur noch die Christoffel-Symbole drin. Bei einer abstrakten Mannigfaltigkeit kann man die einfach irgendwie (aber in konsistenter Weise) festlegen. Dadurch wird ein sogenannter Zusammenhang gegeben, welcher etwas über die innere Geometrie der Mannigfaltigkeit aussagt. Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit werden die Christoffel-Symbole durch die Metrik induziert. Bei einer Untermannfaltigkeit wird wiederum eine Metrik durch das Skalarprodukt des Raumes induziert, in welchem die Untermannigfaltigkeit eingebettet ist.

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