Operatorenrechnung |
22.12.2018, 09:00 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Operatorenrechnung Eine heuristische Herleitung der Verschiebeeigenschaft der Taylorreihe. Es gilt doch In Analogie ist Aber es gilt nach Definition auch Der Vergleich bringt Und daher Setzt man nun ein, dann ergibt sich Für manche Funktionen gilt dieser Zusammenhang tatsächlich. Bei mindestens lokaler Gültigkeit nennt man die Funktion reell-analytisch. |
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22.12.2018, 11:02 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ich weiß, das soll nur eine heuristische Herleitung sein, aber an einer Stelle sträuben sich mir dennoch die Haare. Du schreibst
Es gilt aber zum Beispiel auch Mit analoger Folgerung erhalte ich , also . Die Exponentialfunktion ist also einfach nur eine polynomiale Abbildung? |
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22.12.2018, 12:54 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, bei dieser Zeile habe ich eine Weile überlegt, ob ich sie so stehen lassen soll. Der gelehrte Leser mag darin das Muster erkennen ohne einem Fehlschluss zu unterliegen, aber es ist furchtbar undidaktisch. Der lim-Operator ist nicht injektiv, den darf man nicht einfach so rückgängig machen. Die Schlussfolgerung ist somit bogus. Die Überlegung lässt sich wie folgt schärfen. Sei eine möglichst gutartige Funktion, für die die Operation am ehesten zum richtigen Wert konvergiert. Eine solche Funktion wollen wir Testfunktion nennen, in Analogie zu den Testfunktionen aus der Distributionentheorie. Als Testfunktionen benutzen wir zunächst Polynomfunktionen. Der Differenzoperator sei und der Translationsoperator sei . Offensichtlich gilt nun . Nimmt man für den Testfunktionenraum jetzt als in korrekter Weise konvergent an und beachtet , dann ergibt sich nach dem »Grenzwertsatz zur Differenz« die Gleichung Das bringt uns auf den Gedanken, dass möglicherweise sein könnte, was sich für Polynomfunktionen nachträglich verifizieren lässt. Ich habe »Grenzwertsatz zur Differenz« in Anführungsstriche gestellt, weil die zunächst nur sichergestellt sind, wenn die Operatoren aus normierten Räumen entstammen. Es ist immernoch heuristisch, aber wie von Zauberhand tauchen jetzt sporadisch Konzepte der Funktionalanalysis-Maschinerie auf. |
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22.12.2018, 13:02 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was möchtest du denn mit diesem Thread erreichen? Das habe ich noch nicht ganz verstanden. Geht es dir um eine Diskussion über Operatorenrechnung bzw. Funktionalkalküle? Ich weiß gerade nicht, was es hier noch zu sagen gäbe. |
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22.12.2018, 13:50 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Unter Heranziehung der binomischen Reihe ergibt sich Also Das ist die Grünwald-Letnikow-Ableitung. |
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22.12.2018, 23:04 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Funktion ist ein Eigenvektor von , denn es gilt Wir wollen diagonalisieren. Demnach muss gelten , wobei das Spektrum enthält. Das Spektrum besteht aus den Eigenwerten von . Wir haben demnach eine Matrix , wobei ist. Das Spektrum ordnen wir nun so an, dass gilt. Daher ist . Da die Transformationsmatrix die Eigenvektoren enthält, muss sein, und . Setzt man nun ein mit für ein, dann ergibt sich Das ist die Laplace-Transformation. Nun gilt Da das für alle natürlichen Potenzen gilt, müsste für . Für eine Diagonalmatrix ergibt sich die Potenz einfach, indem die Potenzierung elementweise auf das Spektrum angewendet wird: . Es ergibt sich Nach den Rechenregeln der Laplace-Transformation gilt aber Außerdem gilt , wobei die Faltung von und ist. Bedenkt man und für , dann vereinfacht sich die Faltung zu Daher ergibt sich Man erhält das Resultat Das ist das Riemann-Liouville-Integral. |
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14.01.2022, 07:57 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Riemann-Liouville-Integral. Alternative Herleitung 1 als Cauchy-Formel für mehrfache Integration. Wir wollen eine Formel für das wiederholte Integral herleiten. Aus der Formel für Parameterintegrale erhält man zunächst den Spezialfall Einsetzen von liefert für nun Wiederholt man das noch mal, dann findet man wobei gilt. Da sich Integral und Ableitung gegenseitig aufheben, findet sich Umformen liefert die gesuchte Formel Riemann-Liouville-Integral. Alternative Herleitung 2 als Cauchy-Formel für mehrfache Integration. Sei mit für Mit der Delta-Distribution gilt Infolgedessen gilt Daraufhin gilt und allgemein |
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