Operatorenrechnung

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Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »
Operatorenrechnung
Die Operatorenrechnung ist ein sehr merkwürdiges Verfahren, unterhaltsam wie fruchtbringend.

Eine heuristische Herleitung der Verschiebeeigenschaft der Taylorreihe.

Es gilt doch

In Analogie ist

Aber es gilt nach Definition auch


Der Vergleich bringt

Und daher

Setzt man nun ein, dann ergibt sich



Für manche Funktionen gilt dieser Zusammenhang tatsächlich. Bei mindestens lokaler Gültigkeit nennt man die Funktion reell-analytisch.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich weiß, das soll nur eine heuristische Herleitung sein, aber an einer Stelle sträuben sich mir dennoch die Haare.

Du schreibst
Zitat:
Der Vergleich bringt .


Es gilt aber zum Beispiel auch

Mit analoger Folgerung erhalte ich , also . Die Exponentialfunktion ist also einfach nur eine polynomiale Abbildung?
 
 
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bei dieser Zeile habe ich eine Weile überlegt, ob ich sie so stehen lassen soll. Der gelehrte Leser mag darin das Muster erkennen ohne einem Fehlschluss zu unterliegen, aber es ist furchtbar undidaktisch.

Der lim-Operator ist nicht injektiv, den darf man nicht einfach so rückgängig machen. Die Schlussfolgerung ist somit bogus.

Die Überlegung lässt sich wie folgt schärfen.

Sei eine möglichst gutartige Funktion, für die die Operation am ehesten zum richtigen Wert konvergiert. Eine solche Funktion wollen wir Testfunktion nennen, in Analogie zu den Testfunktionen aus der Distributionentheorie. Als Testfunktionen benutzen wir zunächst Polynomfunktionen.

Der Differenzoperator sei und der Translationsoperator sei .

Offensichtlich gilt nun .

Nimmt man für den Testfunktionenraum jetzt als in korrekter Weise konvergent an und beachtet , dann ergibt sich nach dem »Grenzwertsatz zur Differenz« die Gleichung

Das bringt uns auf den Gedanken, dass möglicherweise sein könnte, was sich für Polynomfunktionen nachträglich verifizieren lässt.

Ich habe »Grenzwertsatz zur Differenz« in Anführungsstriche gestellt, weil die zunächst nur sichergestellt sind, wenn die Operatoren aus normierten Räumen entstammen.

Es ist immernoch heuristisch, aber wie von Zauberhand tauchen jetzt sporadisch Konzepte der Funktionalanalysis-Maschinerie auf.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Was möchtest du denn mit diesem Thread erreichen? Das habe ich noch nicht ganz verstanden.

Geht es dir um eine Diskussion über Operatorenrechnung bzw. Funktionalkalküle?

Ich weiß gerade nicht, was es hier noch zu sagen gäbe.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Unter Heranziehung der binomischen Reihe ergibt sich


Also


Das ist die Grünwald-Letnikow-Ableitung.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist ein Eigenvektor von , denn es gilt


Wir wollen diagonalisieren. Demnach muss gelten
,
wobei das Spektrum enthält. Das Spektrum besteht aus den Eigenwerten von . Wir haben demnach eine Matrix , wobei ist. Das Spektrum ordnen wir nun so an, dass gilt. Daher ist
.
Da die Transformationsmatrix die Eigenvektoren enthält, muss
sein, und . Setzt man nun ein mit für ein, dann ergibt sich

Das ist die Laplace-Transformation.

Nun gilt


Da das für alle natürlichen Potenzen gilt, müsste

für . Für eine Diagonalmatrix ergibt sich die Potenz einfach, indem die Potenzierung elementweise auf das Spektrum angewendet wird:
.
Es ergibt sich

Nach den Rechenregeln der Laplace-Transformation gilt aber

Außerdem gilt , wobei

die Faltung von und ist. Bedenkt man und für , dann vereinfacht sich die Faltung zu


Daher ergibt sich


Man erhält das Resultat


Das ist das Riemann-Liouville-Integral.
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