Differenzierbarkeit untersuchen und Funktionsgrenzwert bestimmen

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whatssefak Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit untersuchen und Funktionsgrenzwert bestimmen
[attach]48615[/attach]

Hey,

ich verstehen nicht ganz, wie man das macht.
Eine Möglichkeit ist es doch, die Ableitung beider Teile zu bilden und dann den Grenzwert für x --> 0 zu betrachten, denn dieser muss gleich sein.

für x>0: f`(x) = ax^(a-1)

für x<0: f`(x) = 0

Daraus folgt, dass (von der positiven Seite gegen 0) lim ax^(a-1) = 0 sein muss.
Wenn a < 1, dann "ist ja der Nenner 0"
Für alle anderen a kommt 0 raus?


Ich bin mir zu 99% sicher, dass das falsch ist, ich verstehe aber auch ehrlich gesagt das Ganze nicht.
Eine andere Methode wäre es ja, die Grenzwerte der Differentialquotienten zu überprüfen, was aber umständlicher wäre, oder?


[attach]48616[/attach]

Hier habe ich keine Ahnung, was ich tun muss. Ich habe die Funktion mal in Geogebra eingegeben und es kommt als Grenzwert 1,5 raus.
Habe gar keine Idee, wie man darauf kommen könnte.
whatssefak Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit untersuchen und Funktionsgrenzwert bestimmen
Wenn ich den Differentialquotient bilde:

sich der 0 von der negativen Seite annähernd: lim((a-a)/x) = 0. Passt

Aber warum bekommen ich für die positive Seite:

lim(x^a)/x = lim x^(a-1) und nicht ax^(a-1).
 
 
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RE: Differenzierbarkeit untersuchen und Funktionsgrenzwert bestimmen
Zitat:
bleitung beider Teile zu bilden und dann den Grenzwert für x --> 0 zu betrachten

Kannst du machen. Dein Ergebnis ist korrekt, bis auf den Fall a=1

Die Grenzwerte der Differentialquotienten kannst du auch betrachten. Und dabei kommt an der Stelle x=0 eben nicht ax^(a-1) heraus, weil du die (rechtsseitige) Ableitung von f_a berechnest und nicht von x^a.

Bei der zweiten Aufgabe hilft L'Hospital
whatssefak Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit untersuchen und Funktionsgrenzwert bestimmen
Zitat:
Original von URL
Zitat:
bleitung beider Teile zu bilden und dann den Grenzwert für x --> 0 zu betrachten

Kannst du machen. Dein Ergebnis ist korrekt, bis auf den Fall a=1

Die Grenzwerte der Differentialquotienten kannst du auch betrachten. Und dabei kommt an der Stelle x=0 eben nicht ax^(a-1) heraus, weil du die (rechtsseitige) Ableitung von f_a berechnest und nicht von x^a.

Bei der zweiten Aufgabe hilft L'Hospital


Warum machen dass dann alle (Youtube, Google,...) mit dem Differentialquotient und bilden nicht einfach die Ableitung, ist doch einfacher?
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RE: Differenzierbarkeit untersuchen und Funktionsgrenzwert bestimmen
Woher soll ich wissen, was alle anderen warum machen?
Vielleicht weil man beim Weg über die einseitigen Ableitungen mehr Theorie braucht. Vielleicht, weil man sich beim Weg über die einseitigen Ableitungen noch Gedanken über die Stetigkeit machen muss. Vielleicht weil die Definition der Differenzierbarkeit benutzt werden soll. Frag alle anderen smile
whatssefak Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit untersuchen und Funktionsgrenzwert bestimmen
Zitat:
Original von URL
Woher soll ich wissen, was alle anderen warum machen?
Vielleicht weil man beim Weg über die einseitigen Ableitungen mehr Theorie braucht. Vielleicht, weil man sich beim Weg über die einseitigen Ableitungen noch Gedanken über die Stetigkeit machen muss. Vielleicht weil die Definition der Differenzierbarkeit benutzt werden soll. Frag alle anderen smile


Also kann ich bei Aufgaben dieses Types immer gleich verfahren:

1. Hinschauen und kucken ob stetig
2. Falls ja, einfach ableiten
3. Ableitungen gegen "den Punkt" gehen lassen und schauen ob gleich
4. Wenn ja, dann differenzierbar. Wenn nicht, dann nicht differenzierbar

Oder:

1. Definition hinschreiben Differentialquotient
2. limes rechte Seite = limes linke Seite
3. Wenn ja, dann differenzierbar, wenn nein, dann nicht

Unter welchen Umständen mache ich was falsch, oder komme nicht weiter, wenn ich immer so vorgehen?
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RE: Differenzierbarkeit untersuchen und Funktionsgrenzwert bestimmen
Ich halte nichts von der Idee, man könne immer gleich vorgehen. Sucht man immer gültige Vorgehensweisen, muss man sich in aller Regel um unhandlich viele Spezialfälle kümmern, verbaut sich gelegentlich einfache, elegante Lösungen. Der Preis ist, dass man nachdenken muss.

Aber wenn du so erpicht darauf bist, dann nimm den Weg über die Differentialquotenten.
Das Vorgehen mit einseitigen Grenzwerten der Ableitung funktioniert nur bei stetig differenzierbaren Funktionen.
whatssefak Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit untersuchen und Funktionsgrenzwert bestimmen
Zitat:
Original von URL
Ich halte nichts von der Idee, man könne immer gleich vorgehen. Sucht man immer gültige Vorgehensweisen, muss man sich in aller Regel um unhandlich viele Spezialfälle kümmern, verbaut sich gelegentlich einfache, elegante Lösungen. Der Preis ist, dass man nachdenken muss.

Aber wenn du so erpicht darauf bist, dann nimm den Weg über die Differentialquotenten.
Das Vorgehen mit einseitigen Grenzwerten der Ableitung funktioniert nur bei stetig differenzierbaren Funktionen.


Ich denke, ich verstehe was du meinst und kann nachvollziehen, warum du so fühlst. Aber bedenke auch, dass für jemanden, für den das alles ganz neu ist, das alles erstmal zusammenhängend noch keinen Sinn ergibt. Da ist man ganz froh, wenn man eine feste Herangehensweise hat und die Logik sowie die Zusammenhänge entwickeln sich dann ja erst.
Ich bin halt auch absolut keiner von den Überfliegern, die ihre Übungsblätter kurz runter schreiben können.
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit untersuchen und Funktionsgrenzwert bestimmen
Spricht ja nichts gegen Kochrezepte, wenn man immer bereit ist, sie ein bisschen anders abzuschmecken smile
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit untersuchen und Funktionsgrenzwert bestimmen
Während der vorangegangenen Diskussion über den bequemsten, aufwandsärmsten Weg, die 1. Aufgabe abzuhaken, habe ich mal eine strukturierte Bearbeitung vorgenommen und bin gespannt, ob noch eine Lösung zustandekommt, mit der ich meine vergleichen kann.
Ich glaube kaum, dass dem Fragesteller einfach 2 völlig unterschiedliche Aufgaben aufgedrückt wurden, ohne die Themen zuvor ausreichend behandelt zu haben. Daher bin ich mir ziemlich sicher, dass hier erwartet wird,
1. Stetigkeit in Abhängigkeit von
2. Differenzierbarkeit im Stetigkeitsfall mit dem Differentialquotienten unter Beachtung der 2 unterschiedlichen Zweige
sauber zu prüfen, wobei jeweils Fallunterscheidungen den Wertebereich von einschränken.
Zur Erinnerung: Es wurde nicht gefragt, ob die Funktion in x=0 differenzierbar ist, sondern für welche .

Bei der 2. Aufgabe kann man nach Umformung Rückgriff auf Standardgrenzwerte nehmen, die zuvor ihrerseits geometrisch oder mit L'Hospital hergeleitet wurden:

Auch solche Standardgrenzwerte sollten eigentlich im Rahmen einer ordentlichen Vorlesung präsentiert worden sein.

Diesen Thread persönlich übernehmen möchte ich übrigens nicht. Augenzwinkern
whatssefak Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit untersuchen und Funktionsgrenzwert bestimmen
Zuerst wird überprüft, ob die Funktion in x = 0 stetig ist.
Stetigkeit ist definiert:
[Ich schreibe immer nur lim, f(x), was genau gemeint ist, sollte im Kontext klar sein, a ist alpha].

limf(x) = f(0)
Für x > 0: lim(x^a +a) = 0^a + a , also a > 0, denn sonst wird durch 0 geteilt
Für x < 0: lim(a) = a

Also ist die Funktion für a > 0 stetig.


Betrachtet wird nun der Grenzwert des Differentialquotienten an der Stelle x=0.
lim[(x^a + a - a)/x)] = 0^(a-1)

lim[(a-a)/x] = 0

Damit die Funktion differenzierbar ist, müssen diese Grenzwerte gleich sein:
0 = 0^(a-1)

Für a = 1 ist 0^1 = 1 =NICHT 0
Für a > 1 ist die Gleichung erfüllt --> für a > 1 ist die Funktion differenzierbar
Für a < 1 ist die Gleichung nicht definiert, weil 0^(a-1) = 1/(0^(Betrag(a-1))) durch 0 geteilt wird [Wie schreibt man das richtig auf? verwirrt ]

Das habe ich jetzt mal dastehen, bin ganz zufrieden damit
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