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23.12.2018, 20:25

Mesut95

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Meine Frage:
Hallo ich habe eine kleine Verständnis Frage. (Siehe Bild)

Meine Ideen:
Es wird für y Welle eingesetzt aber es steht y=... wie kann man das verstehen Y ist doch ungleich Y Welle?

24.12.2018, 09:44

Finn_

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Ja, das schaut schon etwas merkwürdig aus, wird aber wohl so richtig sein. Also was solls. Wir rechnen nach.

Das $\begin{eqnarray*} \nabla_v^{\mathbb R^N}Y \end{eqnarray*}$ ist in Griesers Schreibweise einfach die Richtungsableitung, ohne orthogonal auf den Tangentialraum zu projizieren. Macht man danch die orthogonale Projektion, ergibt sich die kovariante Ableitung $\begin{eqnarray*} \nabla_v Y \end{eqnarray*}$ .

Wir haben also
$\begin{eqnarray*} (\nabla_v^{\mathbb R^N}Y)(p) = (Y\circ c)'(0), \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ eine Kurve mit $\begin{eqnarray*} p=c(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=c'(0) \end{eqnarray*}$ ist.

Sei $\begin{eqnarray*} \tilde c \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} c = \varphi\circ\tilde c \end{eqnarray*}$ gegeben. D.h. $\begin{eqnarray*} \tilde c \end{eqnarray*}$ ist die Kurve im Koordinatensystem und wird durch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf die Mannigfaltigkeit gehoben. Nun gilt
$\begin{eqnarray*} Y\circ c = Y\circ\varphi\circ\tilde c = \tilde Y\circ\tilde c. \end{eqnarray*}$
Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} v=g_i=\frac{\partial\varphi}{\partial u^i} \end{eqnarray*}$ sein soll, dann muss $\begin{eqnarray*} \tilde c'(0)=\mathbf e_i \end{eqnarray*}$ sein.

Nach der Kettenregel ergibt sich
$\begin{eqnarray*} (\tilde Y\circ\tilde c)'(0) = \sum_k \frac{\partial\tilde Y}{\partial u^k}\,\tilde c_k'(0). \end{eqnarray*}$
Über den Koeffizientenvergleich von $\begin{eqnarray*} \mathbf e_i = \sum\nolimits_k \tilde c_k'(0)\mathbf e_k \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} \tilde c_i'(0)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde c_k'(0)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\ne i \end{eqnarray*}$ . Insgesamt ist also
$\begin{eqnarray*} (\nabla_{g_i}^{\mathbb R^N} Y)(p) = \frac{\partial\tilde Y}{\partial u^i}, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} p=\varphi(u) \end{eqnarray*}$ .

24.12.2018, 14:36

Mesut95

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Hmm ok

Was ich noch nicht so genau verstehe im Bild wird dann noch für Y= $\begin{eqnarray*} \frac{\partial \phi}{\partial u_i} \end{eqnarray*}$ eingesetzt, aber im
Nachhinein wird das füt Y Welle eingesetzt. Warum darf man das ?
Y ist doch ungleich Y welle ?

24.12.2018, 19:14

Mesut95

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also hast du eben gezeigt das nach der Kettenregel Y=Y welle ist ? geschockt

24.12.2018, 22:24

Mesut95

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Sind die ei die normalen einheitsvektoren ? Also (1,0,0) (0,1,0) usw?

24.12.2018, 23:40

Mesut95

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Und wie kommst du auf der rechten Seite auf ek?

27.12.2018, 11:16

Finn_

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Zitat:

Was ich noch nicht so genau verstehe im Bild wird dann noch für $\begin{eqnarray*} Y = \frac{\partial\varphi}{\partial u^i} \end{eqnarray*}$ eingesetzt, aber im
Nachhinein wird das für $\begin{eqnarray*} \tilde Y \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Warum darf man das?
$\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist doch ungleich $\begin{eqnarray*} \tilde Y \end{eqnarray*}$ ?

Auch $\begin{eqnarray*} \tilde Y(u) := \frac{\partial\varphi}{\partial u^i}(u) \end{eqnarray*}$ kann für $\begin{eqnarray*} \tilde Y \end{eqnarray*}$ eingesetzt werden, das ist richtig.

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist bijektiv. Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \tilde Y=Y\circ\varphi \end{eqnarray*}$ lässt sich daher nach $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ umstellen. Man erhält $\begin{eqnarray*} Y=\tilde Y\circ\varphi^{-1} \end{eqnarray*}$ . Eigentlich muss da also
$\begin{eqnarray*} Y(p) = \frac{\partial\varphi}{\partial u^i}(\varphi^{-1}(p)) \end{eqnarray*}$
stehen.

Zitat:

Sind die $\begin{eqnarray*} \mathbf e_i \end{eqnarray*}$ die normalen einheitsvektoren? Also (1,0,0) (0,1,0) usw?

Ja, damit sind die kanonischen Basisvektoren gemeint. Die Kurve $\begin{eqnarray*} \tilde c \end{eqnarray*}$ soll aber im Parameterbereich $\begin{eqnarray*} \tilde U\subseteq\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ verlaufen. Bei einer Fläche ist $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ . Die Basisvektoren sind dann (1,0) und (0,1).

Zitat:

Und wie kommst du auf der rechten Seite auf $\begin{eqnarray*} \mathbf e_k \end{eqnarray*}$ ?

Die Parameterkurve $\begin{eqnarray*} \tilde c \end{eqnarray*}$ verläuft doch im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , besitzt bei $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ dann die eindeutig bestimmten Koordinaten
$\begin{eqnarray*} \tilde c(t) = \begin{bmatrix}\tilde c_1(t) \\ \ldots\\ \tilde c_n(t)\end{bmatrix} = \sum_{k=1}^n \tilde c_k(t)\mathbf e_k. \end{eqnarray*}$
Die Ableitung stimmt mit der komponentenweisen Ableitung überein:
$\begin{eqnarray*} \tilde c'(t) = \sum_{k=1}^n \tilde c_k'(t)\mathbf e_k. \end{eqnarray*}$

05.01.2019, 19:25

Mesut95

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Guten abend Finn ich wollte mal ein Bsp zur Kovarianten ableitung machen ist mein ausgewähltes bsp gut oder macht das kein Sinn? Kannst du mal im
Aktuellen Thread schauen bitte ?

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