Produkt von Gruppen

24.12.2018, 23:45	Grulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt von Gruppen Meine Frage: Sei X eine Indexmenge und $\begin{eqnarray} (G_x)x \in X \end{eqnarray}$ eine Gruppenfamilie. Dann ist das mengentheoretische Produkt $\begin{eqnarray} prod_{x \in X}^{} G_x \end{eqnarray}$ eine Gruppe, wenn wir die Verknüpfung zweier Elemente $\begin{eqnarray} (g_x)_(x \in X), (h_x)_(x \in X) \in \prod_{x \in X}^{} G_x \end{eqnarray}$ komponentenweise erklären durch $\begin{eqnarray} (g_x)_(x \in X) \cdot (h_x)_(x \in X) \coloneqq (g_x \cdot h_x)_(x \in X) \end{eqnarray}$ . Ist mit mengentheoretisches Produkt das kartesiche Produkt gemeint? Falls ja: Dann wäre (für eine Indexmenge {1, ..., n}) das kartesiche Produkt der Form: {(g_1, ..., g_n) \| g_i element G_i} Wie kann man also zwei dieser Tupel multiplizieren? Oben sehe ich ja keine Tupel miteinander multipliziert, sondern einzelne Elemente der Gruppen. Vielen Dank! Meine Ideen: s.o.
24.12.2018, 23:54	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es ist das kartesische Produkt gemeint, das auch für unendliche Indexmengen existiert. Ein Element eines solchen Produkts wird komponentenweise definiert und genau das ist hier geschehen. Man setzt $\begin{eqnarray} \prod_{i \in I} A_i := \left\{ f: I \to \bigcup_{i \in I} A_i ~ \bigg\| ~f(i) \in A_i \right\} \end{eqnarray}$ . Ein Element $\begin{eqnarray} f \in \prod_{i \in I} A_i \end{eqnarray}$ ist dann durch Angabe aller $\begin{eqnarray} f(i) \end{eqnarray}$ ("Koordinaten/Komponenten") für $\begin{eqnarray} i \in I \end{eqnarray}$ vollständig definiert.

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