Faktorisieren von zwei binomischen Formeln, die subtrahiert werden

27.12.2018, 12:40

Vinicius7

Faktorisieren von zwei binomischen Formeln, die subtrahiert werden

Hallo,

ich bin ein bisschen am Wiederholen und dummerweise habe ich bei einer Aufgabe keinen Lösungsweg aufgeschrieben, sondern nur die Lösung. Leider weiß ich aber nicht wie man auf diese kommen soll Hammer

Die Aufgabe ist:
Faktorisieren Sie den folgenden Term vollständig:
$\begin{eqnarray*} (4*y-5*x)^2-(-3*z-2*x)^2 \end{eqnarray*}$

Da im Term zwei binomische Formeln sind, habe ich diese erstmal zerlegt in:
$\begin{eqnarray*} 16*y^2-40*x*y+21*x^2-12*x*z-9*z^2 \end{eqnarray*}$

Wie kommt man dann auf die Lösung
$\begin{eqnarray*} (4*y-3*x+3*z)(4*y-7*x-3*z) \end{eqnarray*}$ ?

27.12.2018, 14:13

Leopold

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Wende die binomischen in der anderen Richtung an:

$\begin{align*} A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \ \ \ \text{mit} \ \ \ A = 4y-5x \, , \ B = -3z - 2x \end{align*}$

27.12.2018, 14:14

faktor27

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Man könnte ja durchaus auf die Idee kommen, dass eine geeignete Faktorisierung die Form $\begin{eqnarray*} (ax+by+cz) \cdot (dx+ey+fz) \end{eqnarray*}$ besitzt.

Multipliziert man das aus und führt einen Koeffizientenvergleich mit 21x²+16y²-9z²-40xy-12xz+0yz durch, dann führt das zu einen Gleichungssystem mit 6 Gleichungen und 6 Unbekannten.
Das ist zwar machbar zu lösen, aber man kann sich die Sache mit etwas "Wunschdenken" auch etwas handlicher machen, indem man sich einige der 6 Unbekannten schon einmal vorgibt.

Unterstellt man also, dass a,b,c,d,e und f ganzzahlig sind, dann würde sich die Anzahl der Möglichkeiten schon mal erheblich eingrenzen.
Schaut man z.B. scharf auf die Faktoren vor y und z, also b,c,e und f, dann muss ja be=16 uns cf=-9 gelten.
Bezieht man nun gleichzeitig mit ein, dass sich die Terme mit yz ja letztendlich wegheben müssen, dann liegt es ja nahe b und e bzw c und f betragsmäßig gleich zu wählen.

Mir ist bewusst, dass da viel Wunschdenken mit dabei ist.
Aber der mögliche Erfolg gibt einem recht.
Wenn das mit den ganzzahligen Lösungen zu nichts geführt hätte, dann kann man ja immer noch das oben erwähnte (nicht ganz einfache) Gleichungssystem lösen.

Du hast die Wahl.
Vielleicht bietet ja ein anderer Helfer noch einen anderen Lösungsweg an.

Viel Erfolg Freude

27.12.2018, 15:08

Vinicius7

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Zitat:

Original von Leopold
Wende die binomischen in der anderen Richtung an:

$\begin{align*} A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \ \ \ \text{mit} \ \ \ A = 4y-5x \, , \ B = -3z - 2x \end{align*}$

Ah, danke! Ich hab die erste binomische Formel benutzt und bin deswegen zu keiner Lösung gekommen.
Dann weiß ich jetzt Bescheid Augenzwinkern

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