Extremwertaufgabe Begründung |
| 27.12.2018, 18:04 | HAEngel2701 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Extremwertaufgabe Begründung Gegeben sei der Graph G der Funktion f mit sowie die Gerade m mit y=k, 2 < k < 6. Die Schnittpunkte der Gerade m mit dem Graphen G, genannt Ak und Bk, sowie der Punkt C(0|6) bilden ein Dreieck. Begründen Sie, dass keines der möglichen Dreiecke AkBkC einen minimalen Flächeninhalt haben kann, aber ein solches mit maximalem Flächeninhalt existiert! Meine Ideen: Bei der graphischen Darstellung erkennt man, dass für k = 2 das Dreieck theoretisch am kleinsten wäre, da hier allerdings nur noch einen SP von m und G existiert, gibt es dieses Dreieck faktisch nicht. [Die Begründung ist aber doch sehr schwammig 
].Ich würde stattdessen am liebsten das Ganze rechnerisch als Extremwertaufgabe lösen. Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von A=0,5*g*h. h ist dabei einfach k-2 in den definierten Grenzen, bei g fehlt mir allerdings der Ansatz [eigentlich ja nur die Differenz der x-Werte der Schnittpunkte bzw. der Betrag des Doppelten einer x-Koordinate, aber wie drücke ich das mathematisch aus 
]. Ich vermute mal, dass sich dann anhand dieser Zielfunktion die Aufgabe lösen lassen würde. Danke für eure Hilfe schon mal im Voraus! 
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| 27.12.2018, 18:33 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Flächenfunktion* kann aus Symmetriegründen mittels zweier rechtwinkeliger Dreiecke angesetzt werden: wobei die Abszisse des Schnittpunktes von f(x) mit der Geraden in Abhängigkeit von ist. Diese ist das Resultat der Gleichung (*) Bei der Untersuchung der Flächenfunktion wirst du feststellen, dass sie wohl ein relatives Maximum aber sonst nur Randextrema besitzt ... [attach]48631[/attach] mY+ |
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| 28.12.2018, 13:12 | HAEngel2701 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hmm, ok! Also mein Ansatz eigentlich in abgewandelter Form
Aber wie kommst du auf die 2 vor in der Funktion, die kürzt sich doch eigentlich bei zwei Drecken mit dem 1/2 raus, oder
Dann wäre die A-Funktion ja: A(x)=[6-f(x)]*x . Und das müsste man dann ableiten für Extremwert |
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| 28.12.2018, 13:47 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt, die 2 gehört dort nicht hin, durch diese wird ja gekürzt. ---------- Der Ansatz ist jetzt erst der Anfang, danach muss die Flächenfunktion betrachtet werden. Da diese von c abhängig ist, sind die x-Werte der Schnittpunkte (es genügt jener im ersten Quadranten) in Abhängigkeit von c auszudrücken, damit ist die Gleichung: nach x zu lösen. Mittels Substitution ergibt sich eine quadratische Gleichung und letztendlich Dies wird nun in die Flächenfunkion eingesetzt und deren Ableitung Null gesetzt. Ist die 2. Ableitung an den damit errechneten Stellen positiv (Voraussetzung für eine positive Krümmung, Linkskrümmung bei relativem Minimum)? Wie sehen die Randextrema aus? Die manuelle Durchrechnung gestaltet sich schwierig, sodass man hier vorzugsweise ein CAS (GTR, Excel, GeoGebra, etc.) einsetzt. Es ging also bis jetzt nur um die Beantwortung deiner Frage, wie der Rechenweg mathematisch exakt zu verlaufen hat. In der Grafik ist die Flächenfunktion - in Abhängigkeit von c (!) - rot eingezeichnet. Diese ist mittels von dir gewählten Technologieeinsatzes selbst zu erstellen, gelingt dir das? So solltest du in der Lage sein, die eingangs gestellten Fragen zu beantworten bzw. die Begründung dazu anzugeben. mY+ |
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| 28.12.2018, 15:12 | HAEngel2701 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hm, der Lösungsweg erscheint mir logisch, aber die Aufgabe stammt aus einer Abiturprüfung - und da durfte man keinen GTR verwenden
Begründen heißt dann in dem Fall vielleicht verbal argumentieren. |
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| 28.12.2018, 16:05 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Deine eingangs gestellte Frage bezog sich darauf, dass du das Ganze rechnerisch lösen möchtest. Dazu habe ich dir ausführlich Auskunft gegeben. Beim Abitur sind grundsätzlich GTR erlaubt, alleine schon der Stochastikberechnungen wegen, zumindest in Österreich ist das so und ich kann mir nicht vorstellen, dass es in Deutschland nicht auch so ist. Die transzedente Gleichung bei der Extremwertberechnung kann so nur näherungsweise gelöst werden. --------- Wenn nur Argumentation im Kontext verlangt ist, wird man natürlich bestrebt sein, möglichst den kurzen, verbalen Weg zu gehen, keine Frage. Wenn der Weg über die Flächenfunktion nicht gangbar erscheint, könntest du alternativ einige der möglichen Dreiecke einzeichnen und dir Gedanken darüber machen, was bei c = 2 und c = 6 eigentlich passiert.... mY+ |
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| 28.12.2018, 16:58 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Extremwertaufgabe Begründung Da ich es regelmäßig mit Schülern der Abschlußklassen zu tun habe, kann ich zur Klärung des Problems dahingehend beitragen, dass bei Aufgaben dieser Art, in denen eine Begründung verlangt ist, in der Tat eine saubere verbale Argumentation genügt, aber keine größere Rechnung erwartet wird - wenn überhaupt, dann nur eine kleine Nebenrechnung zur Unterstützung der Argumentation, aber sicher keine ausufernde Funktionsuntersuchung wie hier. Bereits aus Zeitgründen sollte letzteres daher unterlassen werden. Erfahrungsgemäß werden an die verbale Argumentation auch keine überspannten Forderungen gestellt. Der letzte Hinweis von mYthos ist daher der richtige Ansatzpunkt, wobei man dann Stellung zu nehmen hat, wie sich der Flächeninhalt der Dreiecke an den Rändern des offenen k-Intervalls entwickelt und was mit den Dreiecken auf den Grenzen passiert. |
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| 30.12.2018, 13:03 | HAEngel2701 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei c=2 existiert kein Dreieck mehr, weil es nur noch 2 Punkte gibt, da die Gerade mit y=2 den Graphen von der Funktion lediglich in einem Punkt schneidet - davor geht der Flächeninhalt quasi für k gegen 2 gegen 0. Hier gibt es also dementsprechend keinen minimalen Flächeninhalt. Bei c=6 liegen die Schnittpunkte sowie C auf einer Gerade, ergo gibt es auch hier kein Dreieck und keine n Flächeninhalt, auch hier geht der Flächeninhalt für k gegen 6 gegen 0. Auch hier gibt es keinen minimalen Flächeninhalt. Entfernt man sich von den Grenzen, wird der Flächeninhalt beidseitig bis zu einem gewissen Wert größer - das ist dann das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt. |
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| 30.12.2018, 13:45 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, so kann man das sagen. Bei c = 2 oder c = 6 entartet das Dreieck, die betrachtete Fläche ist jeweils Null. Das sind also die Rand-Extremwerte bzw. Randmimima. Dazwischen ist die Flächenfunktion stetig und monoton (steigend bis zur Stelle des Maximums, fallend ab dieser), die Steigung fallend und daher die Krümmung negativ. mY+ |
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