Differenzialgleichung ln mit e^ vereinfachen

27.12.2018, 21:15	Anonynuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzialgleichung ln mit e^ vereinfachen Meine Frage: Hi, ich kann eine Lösung meines Professors nicht nachvollziehen: Am Ende der Lösung der homogenen DGL erhalte ich das Resultat $\begin{eqnarray} C\frac{1}{2}ln(x^2-1) \end{eqnarray}$ In seiner Lösung wird jedoch vereinfacht zu: $\begin{eqnarray} C\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ . Leider kann ich das so nicht nachvollziehen. Kann mir jemand weiterhelfen? Meine Ideen:* Vielen Dank schonmal im Voraus
27.12.2018, 21:19	Anonynuss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialgleichung ln mit e^ vereinfachen Zur Präzisierung (ich kanns leider nicht mehr editieren) Ich erhalte: $\begin{eqnarray} ln(y)=\frac{1}{2}ln(x^2-1) \end{eqnarray}$ Und er erhält: $\begin{eqnarray} y(x)= \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ Wie kann ich das so weit vereinfachen? (e^, ich weiss, aber wie weiter?)
27.12.2018, 22:29	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung ln mit e^ vereinfachen Grundsätzlich gilt: Der $\begin{eqnarray} ln \end{eqnarray}$ verschwindet und die Wurzel entsteht durch Anwendung von Potenz- und Logarithmengesetzen - Schulstoff, bitte nochmal drüber nachdenken. Darüberhinaus bleiben bei mir noch Fragen offen: - An welcher Stelle hast Du die Integrationskonstante verarbeitet? - Kann es sein, dass die Vorstufe zur Lösung lauten muß: $\begin{eqnarray} ln\| y \| = ... \end{eqnarray}$ ? - Woher kommt der Faktor -1, um den sich die Lösungen jeweils unterscheiden? Daher würde ich gern die Original-Aufgabe sehen.
27.12.2018, 22:44	Anonynuss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung ln mit e^ vereinfachen Ja, das mit dem Vorfaktor -1 habe ich auch nicht verstanden. Die Originalaufgabe lautet: $\begin{eqnarray} y'=\frac{xy}{x^2-1}+e^x\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ mit y(0) = 1 Es soll nun die Differenzialgleichung 1. Ordnung gelöst werden. Das oben erwähnte Resultat sollte als Lösung des homogenen Teils entstehen. Ja, ich weiss, dass es bei der Vereinfachung nur "einfache" Schulmathematik ist. Jedoch finde ich keine entsprechende Literatur, die genau diese Form der Aufgabe behandelt...
28.12.2018, 00:55	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung ln mit e^ vereinfachen Zunächst ist $\begin{eqnarray} e^{ \frac{1}{2} ln\left(x^{2}-1 \right) }=e^{ {ln\left(x^{2}-1 \right)}^\frac{1}{2} }=e^{ln\left(\sqrt{x^2-1} \right)} =\sqrt{x^{2}-1 } \end{eqnarray}$ Das ist der "Schulteil", für den es keine spezielle Literatur gibt. Nach etwas Rumprobieren bin ich hinsichtlich der "-1" auf folgendes gekommen: Betrachte statt $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \frac{x}{x^{2}-1 } \, dx \end{eqnarray}$ zum Vergleich $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! -\frac{x}{1-x^{2} } \, dx \end{eqnarray}$ Berechnet man das erste Integral formal mit Substitution ergibt sich eine ähnliche Konsequenz aufgrund wiederum anfallender Betragsstriche. Ich könnte mir vorstellen, dass unter Berücksichtigung des Wertebereichs von x ohne großes Aufhebens davon Gebrauch gemacht wurde (oder gepaart mit der Aufforderung ans Publikum, dies selbst nachzuvollziehen).

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