Divergenz auf Riemann Mannigfaltigkeit

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lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz auf Riemann Mannigfaltigkeit
Meine Frage:
Hi Ich verstehe einige Sachen nicht und würde mich freuen wenn wir das lösen können.



Meine Ideen:
Wieso steht im Anhang 2 ?
Im Anhang 1 war ja da noch ein f also : ?
Wie kommt man dann auf das 2 "=" und schließlich zur Formel?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Regel zur mehrdimensionalen partiellen Integration lautet

Hierbei ist kompakt mit stückweise glattem Rand. Das Vektorfeld soll auf einer offenen Umgebung von definiert und stetig differenzierbar sein. Das Skalarfeld soll auf definiert und stetig differenzierbar sein. Diese Regel kommt aus der mehrdimensionalen Analysis und wird als bekannt vorausgesetzt.

Sei jetzt eine riemannsche Mannigfaltigkeit und ein Skalarfeld. Ferner sei eine lokale Karte und der Träger von soll innerhalb von liegen, d.h. den Rand nicht berühren. Dann gilt

wobei auf der rechten Seite genauer gesagt die lokalen Darstellungen und stehen. Auf der rechten Seite darf man die bekannten Regeln aus der mehrdimensionalen Analysis anwenden.

Es gilt nun , wobei im letzten Term wieder die lokalen Darstellungen stehen. Die sind in kartesischen Koordinaten mit Standardskalarprodukt. Der Gradient auf der linken Seite hat also eine ganz andere Bedeutung. Es ergibt sich


Im letzten Schritt wurde die partielle Integration angewendet, wobei man beachtet, dass auf dem Rand verschwindet, da der Träger im Inneren von liegt.

Eingesetzt in die angegebene Definition von ergibt sich


Da das für jede Testfunktion gelten soll, gilt


Eine absurde Gleichung. Wenn man in »in die Divergenz reinzieht«, dann darf man in kartesischen Koordinaten rechnen. Auf der rechten Seite gilt daher
 
 
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey und vielen dank für die Antwort smile
Ich glaube ich verstehe das was du schreibst. Wenn ich aber dazu eine Frage habe werde ich dich fragen vielen dank smile
Wie kommst du auf ...=df(V)=...?
Was ich mich dann noch frage wie kommt man dann auf die Formel div v=.... ?
Man kann doch nicht einfach dividieren und div V lassen. Also ich mein damit:




aus dem folgt doch nicht

verwirrt

Man kann doch nicht div V nicht einfach aus dem Integral ziehen verwirrt


Das ist sowie:




und aus dem folgt



das ist ja auch falsch..
In der Formel wir dann V^i zu V verwirrt ist das ein Tippfehler ?
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht wie das - bei dir verschwunden ist verwirrt
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie kommst du auf ...=df(V)=...?

Man definert . Aus den Eigenschaften von ergibt sich, dass ein Vektorraum-Isomorphismus ist. Man schreibt bzw. und spricht von den musikalischen Isomorphismen. Es lässt sich zeigen, dass . Daher ist


Zitat:
Was ich mich dann noch frage wie kommt man dann auf die Formel div v=.... ?

Das ist ein extra Satz wert bzw. ein extra Thread. Wenn für alle glatten Funktionen mit Träger in die Gleichung

gilt, kann dann geschlussfolgert werden, dass für alle ? Wenn nein, fast überall?

Zitat:
In der Formel wir dann V^i zu V, ist das ein Tippfehler?

Es scheint sich um einen Tippfehler zu handeln.

Was es mit der Tilde über dem auf sich hat, kann ich auch nicht sagen. Vielleicht soll sein, wobei zu einer Zerlegung der Eins gehört. Aber da steht zuvor, dass selbst seinen Träger innerhalb des Kartengebietes haben soll. Vielleicht wurde da die Tilde vergessen?

Wenn gemeint wäre, dann müsste man auch und schreiben. Das kann doch nicht gemeint sein.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lucy21
Ich verstehe nicht wie das - bei dir verschwunden ist verwirrt

In der Definition von div V kommt ein Minus vor. Und durch die partielle Integration entsteht ein zweites. Minus mal minus macht dann plus.
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das ist ein extra Satz wert bzw. ein extra Thread. Wenn für alle glatten Funktionen f mit Träger in [a,b] die Gleichung.....


hm ok verstehe nicht ganz was du meinst verwirrt

kannst du mir vllt erklären wie man auf die Endformel von div V kommt ?
Zitat:

Wenn gemeint wäre, dann müsste man auch und schreiben. Das kann doch nicht gemeint sein.


Such mal in google nach:

"Divergenz riemannsche Mannigfaltigkeit"

Das ist das Skript. Hier ist tatsächlich f Tilde als f(F) definiert. verwirrt

Das mit dem Minus hat sich erledigt danke Freude
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Fundamentallemma der Variationsrechnung.
Sei und für jedes mit gelte

Dann ist für alle .

Substituiere nun gegen . Dann ergibt sich als Bedingung

Daraus folgt für alle , also .

Es gibt dieses Fundamentallemma auch für höhere Dimensionen.
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

hm okay. Wie hilft mir das nun auf den Ausdruck im Anhang zu kommen? verwirrt
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ausschnit in deinem Anhang hat die Tilde über in der Formel

weggeschnitten.

Dann gilt natürlich bzw. mit .
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Finn_
Der Ausschnit in deinem Anhang hat die Tilde über in der Formel

weggeschnitten.

Dann gilt natürlich bzw. mit .


Ups omg wie peinlich Hammer
Tut mir leid unglücklich Dann hat sich das mit f Tilde erledigt. Freude
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Fundamentallemma der Variationsrechnung.
Sei eine offene Teilmenge des und sei eine lokal integrierbare Funktion. Es gelte für jede unendlich oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger:

Dann ist die Nullfunktion, d.h. für alle .
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay leider verstehe ich trotzdem nicht wie man mit Hilfe dieser Information von



auf die angehängte Formel der Div kommt verwirrt
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

heißt das dann:







wegen dem Satz was du geschrieben hast gilt nun:





und daraus folgt die Formel so richtig oder ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Voraussetzungen für das Fundamentallemma erfüllt sind, sollte es so stimmen.
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich irgendwie zeigen das die Voraussetzungen erfüllt sind.
Wie mache ich das am besten ?
Ps: Danke für die Hilfe
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann man zeigen das die Funktion g lokal integrierbar ist ?
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Finn_

...
Sei jetzt eine riemannsche Mannigfaltigkeit und ein Skalarfeld. Ferner sei eine lokale Karte und der Träger von soll innerhalb von liegen, d.h. den Rand nicht berühren.
...

...
Im letzten Schritt wurde die partielle Integration angewendet, wobei man beachtet, dass auf dem Rand verschwindet, da der Träger im Inneren von liegt.
...
[/l]


liegt der Träger von f in V oder in U verwirrt
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Der Träger von soll in liegen, wobei eine offene Menge ist. Ist eine lokale Karte und , dann liegt der Träger von in und es gilt .
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ok danke smile
Ich wollte jetzt ein Bsp berechnen.
Angenommen S sei die Zylinderfläche mit der Parametrisierung
F(u1,u2)=
und V sei das Gradientenvektorfeld
V= .
Wir kriegen dann für gij und die Inverse die Einheitsmatrix.
Bevor ich weiter rechne macht es Sinn weiter zu rechnen? Ist das ein Sinnvolles Beispiel?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Aussage

muss man natürlich aufpassen, dass man sich da nicht die Finger verbrennt. In der Definition des Trägers wird der Abschluss gemacht. Das ist ein topologisches Konzept, die technischen Details möchte man lieber nicht aufdröseln.

Glücklicherweise gilt der folgende Satz.
Sind topologische Räume und ist ein Homöomorphismus, dann gilt für alle .

Der Träger ist nun so definiert:
.

Es ergibt sich

Wenn sowieso sein soll, dann lässt sich immer finden, da als bijektiv vorausgesetzt ist. Der Existenzquantor löst sich auf und mit ergibt sich


Also gilt
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich zu dieser Sache komme und zu meinem Beispiel wollte ich dich mal fragen ob du dir das was ich aufgeschrieben habe mal durchlesen könntest. Sind die Sachen die ich geschrieben habe richtig ? verwirrt

und sieht mein Beispiel sinnvoll aus oder eher nicht ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Einheitsmatrix ist, dann ist die Tangentialbasis überall orthonormal. Wie vereinfacht sich die Formel für , wenn man einsetzt?
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh dann kriegen wir wieder die Formel wie im Koordinatenraum..
Ich wollte mal ein Bsp berechnen wo dies nicht der Fall ist verwirrt
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rechnung zu lässt sich für ein allgemeines bewerkstelligen, da muss nicht extra eingesetzt werden. Außerdem steht die Ableitung am Ende der Rechnung vor einem Term, das würde heißen, dass man diesen Term ableitet. Entweder die kommt ganz nach hinten, oder es wäre besser, die Rechnung für zu machen.

Im Ricci-Kalkül rechnet man


Deine Rechnung ist da soweit richtig.

Genauer gesagt gilt

mit , wobei und . Mit ist der Koordinatenvektor zu bezüglich der Basis mit gemeint. Mit ist Nablavektor in kartesischen Koordinaten gemeint.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Dass der Träger im Inneren von liegen soll, ist, auch von mir, etwas unglücklich ausgedrückt. Der Parameterbereich ist ja schon offen vorausgesetzt. Wenn der Träger eine Teilmenge von ist, dann wird er den Rand niemals berühren.

Das ist wie in einer Dimension. Ein wird niemals oder sein dürfen. Das kann den Randstellen zwar beliebig nahe kommen, darf aber niemals mit ihnen übereinstimmen.
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey ich bin gerade unterwegs deswegen kann ich gerade kein ausführlichen text schreiben. Ich schreibe dir später.
Ist die Rechnung I(nabla, V) falsch ? Also bei mir? verwirrt
d/dxi steht in der divergenz formel ja auch vorne.
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Sei V wieder unser Vektorfeld mit
und die Fläche S sei das Kätenoid mit der parametrisierung



Für die 1 Fundamentalmatrix gilt dann




die Determinante aus dieser ist

.


Das heißt für die Divergenz folgt





=


das ist Schwachsinn oder ? u_3 gibst ja nicht. Ich dachte aber halt das V^i die Komponenten des Vertorfendes sind..
Das heißt in der Formel muss tatsächlich V stehen statt V^i .. Wie kann man sich das dann aber überlegen ? Wie kommt das zustande hmm verwirrt

Naja wenn wir V nehmen folgt



=

Da wird doch kein Skalarer Wert raus kommen verwirrt Irgendwas mache ich doch Falsch verwirrt
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Das heißt für die Divergenz folgt



=


Damit ein Skalarer Wert raus kommt muss dann das gelten..



so muss das doch richtig sein, denn dann kommt ein Skalarer Wert dabei raus.



=

so sollte es doch stimmen oder ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

So geht das aber nicht. Erst einmal muss man überprüfen, ob der Wert des Vektorfeldes an der Stelle auch im Tangentialraum liegt. Dann muss es bezüglich der Tangentialbasis dargestellt werden. Zwar haben die Tangentialbasis-Vektoren drei Komponenten, aber es gibt nur zwei davon.

Einfacher wäre es natürlich gewesen, wenn das Vektorfeld von vornherein bezüglich der Tangentialbasis dargestellt wäre.
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm wie kann man so ein vektorfeld finden?
Hast du vllt zufällig eins im Kopf was bzgl der Tangentialbasis dargestellt ist ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Sei .

Die Familie ist genau dann linear abhängig, wenn


(Wenn alle drei Vektoren in einer Ebene liegen, verschwindet das Volumen des Parallelepipeds.)

Wenn du so ein Vektorfeld haben möchtest, dann nimm einfach wie gesagt

und setze für irgendwelche Funktionen ein. Z.B. .
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ich verstehe. Dann hätten wir Vektorfeld aus dem R^2.Ich rechne das gleich mal nach. Ist I( nabla, V) falsch berechnet worden von mir ?oder gibt es etwas falsches
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal zum Beispiel:


Sei V ein Vektorfeld bezüglich der Tangentialbasis dargestellt.
Also mit .
Ferner sei f die Parametrisierung des Katenoids (siehe unten)
Dann folgt für die Divergenz

div V= [latex] \frac{1}{cosh^2(u_{1})} (\frac{\partial F}{\partial u_{1}}cosh^2(u_{1})+\frac{\partial F}{\partial u_{2}}cosh^2(u_{1}))=\frac{2cosh(u_{1})sinh(u_{1})}{cosh^2(u_{1})} =2*\frac{sinh(u_{1})}{cosh(u_{1})}=2*tanh(x)

so sollte es stimmen oder ?
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

div V=

so sollte es stimmen oder
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Finn_
Da das für jede Testfunktion gelten soll, gilt


Eine absurde Gleichung. Wenn man in »in die Divergenz reinzieht«, dann darf man in kartesischen Koordinaten rechnen. Auf der rechten Seite gilt daher


Hey Finn,

ich weiß nicht wie ich begründen soll, dass die Funktion g Lokal Integrierbar ist daher werde ich höchstwahrscheinlich das Fundamentallemma nicht benutzen.

Ich wollte dich fragen ob ich alternativ das benutzen kann was du geschrieben hast ? (siehe Zitat)

Aus
Zitat:
Original von Finn_
Da das für jede Testfunktion gelten soll, gilt


folgt doch auch die Formel für die Divergenz oder ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Sei offen und . Wenn differenzierbar sind, dann sind es nach den Ableitungsregeln auch , und .

Angenommen man setzt nun als differenzierbar voraus. Weiterhin sollen und zwei mal differenzierbar sein. Wenn zwei mal differenzierbar ist, wird es wohl auch sein (Kettenregel). Zwar ist bei nicht differenzierbar, da aber Regulär ist, muss sein. Witzig oder, wie das ineinander greift?

Nach den Ableitungsregeln ist dann auch der Ausdruck

differenzierbar. Dann ist dieser Ausdruck erst recht stetig, also erst recht integrierbar, also erst recht lokal integrierbar.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich wollte dich fragen ob ich alternativ das benutzen kann was du geschrieben hast?

Das macht genau vom Fundamentallemma gebrauch. Für alle glatten Funktionen mit kompaktem Träger steht beim Fundamentallemma als Voraussetzung. Eine Testfunktion ist nichts anderes als eine glatte Funktion mit kompaktem Träger.
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Du setzt div V als differenzierbar vorraus. Was wenn div V nicht differenzierbar ist ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du setzt div V als differenzierbar vorraus. Was wenn div V nicht differenzierbar ist ?

Dürfte auch möglich sein. In der Definition steht

das setzt voraus dass auf integrierbar ist. Dann ist hoffentlich auch auf integrierbar und daher auch auf , so die Schlussfolgerung. Vorausgesetzt ich habe kein technisches Detail misachtet.

Vlt. ist es besser, als stetig vorauszusetzen. Sind z.B. f,g stetig, dann ist auch stetig usw. Also erst recht integrierbar.
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