Kürzester Streckenzug [War: Analytische Geometrie]

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Wassergeist Auf diesen Beitrag antworten »
Kürzester Streckenzug [War: Analytische Geometrie]
Meine Frage:
In einem kartesischen Koordinatensystem sind gegeben: der Punkt P(2|-1), der Punkt S(12|9) sowie der Punkt T(-2+2t|7+t).

Unter allen Streckenzügen PTS ist nur der für t=4 am kürzesten. Begründen Sie dies unter Verwendung einer beschrifteten Skizze!

Meine Ideen:
Wenn man sich das - wie ich es laut Aufgabenstellung gemacht habe - aufzeichnet, sieht man das für t=4 der Winkel zwischen PT und TS 90° beträgt. Damit müssen die beiden Strecken die kürzeste Möglichkeit sein - reicht das als Begründung? verwirrt
werner Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Analytische Geometrie
vielleicht eine etwas bessere Begründung, wenn du es damit begründen kannst Augenzwinkern
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Auch ein Lösungsverfahren "typisch analytisch" ist möglich.
Berechne die Summe beider Distanzen PT und ST in Abhängigkei von t und minimiere diese (mittels Nullsetzen der Ableitung nach t
Die sich daraus ergebende quadratische Gleichung



hat zwei Lösungen. Was ist dazu zu sagen?

mY+
werner Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Analytische Geometrie
Zitat:
Original von Wassergeist
Unter allen Streckenzügen PTS ist nur der für t=4 am kürzesten. Begründen Sie dies unter Verwendung einer beschrifteten Skizze!

Wassergeist Auf diesen Beitrag antworten »

@mythos Die Gleichung hat die Lösungen 0 und 8 - dann müsste es eig zwei Lösungen geben verwirrt - der Winkel ist dabei aber zB auch nur 72 °

@werner
sieht aus wie Satz des Thales
werner Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wassergeist
@mythos Die Gleichung hat die Lösungen 0 und 8 - dann müsste es eig zwei Lösungen geben verwirrt - der Winkel ist dabei aber zB auch nur 72 °

@werner
sieht aus wie Satz des Thales


Brechungsgesetz: was ist die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten verwirrt

(der rechte Winkel ist eine Bosheit, vermute ich Augenzwinkern )
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wassergeist
@mythos Die Gleichung hat die Lösungen 0 und 8 - dann müsste es eig zwei Lösungen geben ?
...

Nein, da hast du falsch gerechnet .., 4 und 12 sind die Lösungen!
-------

Der Winkel 90° stimmt in diesem Fall sogar, also ist es (zufällig) keine oder erst recht eine Bosheit.
Es gibt 2 Punkte mit dem rechten Winkel, nämlich (2 | 9) und (6 | 11). Und letzterer ist zufällig der mit dem kürzesten Streckenzug.
Bei anderen Angaben sind die Winkel völlig anders und 90° für den kürzesten Streckenzug ohne Belang.

Und die zweite Lösung, t = 12, bezeichnet - lt Grafik - sicher keinen Extremwert.
Sie ist eine Scheinlösung, also eine durch Quadrieren der Wurzelgleichung entstandene falsche Lösung.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie in einem anderen ähnlichen Thread hier, soll man offensichtlich wenig bis gar nichts berechnen, sondern argumentieren.
Weshalb ausgerechnet t = 4 für den kürzesten Abstand sorgt, müsste laut werner mit dem Reflexionsgesetz begründet werden.
Dazu werden eventuell zunächst die Normalabstände der Punkte P und S von der Geraden und der Einheitsrichtungsvektor der Geraden nötig sein
(bzw. die Länge des Richtungsvektors auf der Geraden für ) ..

[attach]48641[/attach]

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Eine etwas kürzere Begründung kann mittels Spiegelung (wenn man diese voraussetzen darf) gegeben werden:

Spiegelt man S an g zu S', so trifft die Verlängerung der Geraden PT den Punkt S'.
Man hat also zu zeigen, dass der Schnitt von PS' mit g bei t = 4 erfolgt.

[attach]48647[/attach]

mY+
Wassergeist Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt ein Reflexionsgesetz in der Mathematik. Hab ich noch nie von gehört, kenne das nur aus Physik. Big Laugh

Was mir jetzt an der skizze von Werner auffällt, ist, dass die Gerade durch S und T4 den Umkreis um P und T4 genau im Spiegelpunkt von P schneidet geschockt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wassergeist
Es gibt ein Reflexionsgesetz in der Mathematik. Hab ich noch nie von gehört, kenne das nur aus Physik. Big Laugh
...


Aus diesem Grunde habe ich zunächst auch die "mathematische" Methode bevorzugt. Somit geht es zunächst einmal nur mittels der verhältnismäßig komplizierten Berechnung.
Hat man aber das Reflexionsgesetz erst einmal allgemein mathematisch bewiesen, so steht dessen Anwendung nichts mehr im Wege.

Übrigens funktioniert das Brechungsgesetz (Snellius) ähnlich, dabei sind die Geschwindigkeiten infolge der verschiedenen Dichten der Medien ebenfalls verschieden.
Hier ist zu beachten, dass die Winkel prinzipiell als jene zum bzw. vom Lot (der Normalen) zu messen sind.
---------------

Wie gesagt, die 90°, und damit auch der Halbkreis in der Grafik von werner, sind Zufall. Bei anderen Angaben erübrigen sich diese.
Was aber immer stimmt - und das liegt dem Reflexionsgesetz zu Grunde - ist, dass die Verlängerung von ST natürlich auch P', den Spiegelpunkt von P trifft (!)

Die Grafik zeigt dies und auch, dass bei kleinster Summe der Wegstrecken der Winkel kein rechter zu sein hat.
Es ist aber immer der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel, daher besteht überhaupt erst die Möglichkeit der Spiegelung!

[attach]48649[/attach]

mY+
Wassergeist Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ok verwirrt also ist das die Begründung verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Noch nicht ganz.
Du musst natürlich noch zeigen, dass die Gerade PT den Spiegelpunkt S' nur dann trifft, wenn t = 4 ist.
(Die Gerade PS' schneidet g in T4, also dann, wenn t = 4 ist)

mY+

Anmerkung:
In einer alten, fast identischen Aufgabe meiner Kollegin war folgende Erklärung für das Reflexionsgesetz zu finden:

Die elementargeometrische Lösung besteht darin, einen der beiden Punkte (etwa S) an der Geraden g nach S' zu spiegeln und S' dann mit dem anderen Punkt P zu verbinden.
Der Schnittpunkt mit der Geraden ist dann der gesuchte Punkt T.
Denn wegen XS=XS' für alle X auf g gilt auch stets PXS=PXS'. Und die kürzeste Verbindung von P mit S' ist natürlich die geradlinige (durch den Punkt X=T):
PTS' ist das Minimum aller PXS', also ist auch der Streckenzug PTS kürzer als alle anderen PXS.
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