Gesamtfehlerberechnung mehrerer Messgrößen

28.12.2018, 16:34	chrisfromanotherstar	Auf diesen Beitrag antworten »
Gesamtfehlerberechnung mehrerer Messgrößen Meine Frage: Hallo zusammen, nach drei Jahren Studienunterbrechung beende ich nun mein Maschinenbaustudium und stehe daher mathematisch ein wenig "auf dem Schlauch". Im Rahmen meiner BA muss ich u.a. für folgende Formel den Gesamtfehler bestimmen : $\begin{eqnarray} Calpha = \frac{p1\pm 0.012225kPa-p3\pm 0.012225kPa}{p5\pm 0.012225kPa-\frac{1}{2}(min((p1,p3)\pm 0.012225kPa) + min((p2,p4)\pm 0.012225kPa)) } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zunächst würde ich den Zähler wie folgt vereinfachen [Messwerte & Messunsicherheiten entsprechend verrechnen) : $\begin{eqnarray} Calpha = \frac{pz\pm 0.02445kPa}{p5\pm 0.012225kPa-\frac{1}{2}(min((p1,p3)\pm 0.012225kPa) + min((p2,p4)\pm 0.012225kPa)) } \end{eqnarray}$ Anschließend würde ich den Nenner wie folgt vereinfachen (Messwerte & Messunsicherheiten entsprechend verrechnen) : $\begin{eqnarray} Calpha = \frac{pz\pm 0.02445kPa}{p5\pm 0.012225kPa-\frac{1}{2}(pn2\pm 0.02445kPa) } \end{eqnarray}$ Hier stellt sich mir allerdings die Frage, wie ich nun weiter verfahre mit der 0.5 im Zähler bzgl. der Klammer. Mein Lösungsansatz/ Ziel ist ein Term : $\begin{eqnarray} Calpha = \frac{pz\pm 0.02445kPa}{pn\pm x.xxxkPa} \end{eqnarray}$ Welchen ich im Anschluß partiell ableite. Bin ich soweit auf dem richtigen Weg? Viele Grüße, Christian
28.12.2018, 16:55	chrisfromanotherstar	Auf diesen Beitrag antworten »
Bzgl. der 0.5 im Nenner. Kann ich diese einfach auf den Messwert in der Klammer anwenden und erhalte letztendlich $\begin{eqnarray} Calpha = \frac{pz\pm 0.02445kPa}{pn\pm 0.036675kPa} \end{eqnarray}$ ?
29.12.2018, 06:39	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich sehe keine mathematische Frage. Die Fehlerbeträge im Zähler und im Nenner zu addieren = maximaler Fehler, ist doch schon mal eine Maschinenbau Sondersache. Und wie du die Summe 2-er Minima behandelst ist nicht ersichtlich, außer dass die zukünftigen berechneten Messgrößen als Summe neu benennst. Letztendlich hast du den Bruch zweier berechneter Größen samt deren Maximalfehler. Und jetzt willst du den Maximalfehler von $\begin{eqnarray} c_\alpha \end{eqnarray}$ anhand der partiellen Ableitungen nach $\begin{eqnarray} p_z , p_n \end{eqnarray}$ bestimmen? Prinzipiell scheint das in Ordnung zu sein. Die 1/2 im Nenner geht in die Messwerte oder in deren Summe aber nicht in die Unsicherheiten ein. Das ist mMn in Ordnung. Die Schreibfiguren sind natürlich nicht wörtlich zu zu nehmen, d.h. eine Klammer ist eine Messgröße samt Unsicherheit.
29.12.2018, 18:14	chrisfromanotherstar	Auf diesen Beitrag antworten »
@dopap Zunächst einmal Danke für deine Antwort Bzgl. der mathematischen Fragestellung, vermutlich wollte ich eher einen qualifizierten Kommentar hinsichtlich meines mathematischen Weges. Bei meinem Vorgehen habe ich mich am angehangenen PDF der Uni Jena orientiert. Wie in diesem ersichtlich (Seite 8., "Manchmal ist es ja auch möglich[...]"), möchte ich den Zähler und Nenner soweit wie möglich "geschickt" vereinfachen bis ich zur partiellen Ableitung komme. Bzgl. der Minima, inwiefern ist hier die "Behandlung" relevant ? Letztendlich bilde ich die Summe der Minimalwerte und bereche den zugehörigen Maximalfehler. Dann setze ich mich mal so langsam an die partielle Ableitung Schönes Wochenende, Christian
29.12.2018, 23:28	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind nicht die Fehler selber bekannt, sondern nur ihre Grenzen, so lässt sich derselbe mathematische Ansatz verwenden, wenn die $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ -Werte als Fehlergrenzen angesehen werden. Diese sind vorzeichenlos, also als Betrag definiert. Für das Ergebnis lässt sich so auch nur die Fehlergrenze ausrechnen; dazu ist mit der ungünstigsten Vorzeichenkombination zu rechnen, indem Beträge addiert werden. $\begin{eqnarray} \text{Gesamtfehlergrenze}\, G_{y}\, \text{des Ergebnisses } \, y; \quad\Delta y=\left\|\frac {\partial y}{\partial x_{1}}\right\|\cdot \Delta x_{1}+\left\|\frac {\partial y}{\partial x_{2}}\right\|\cdot \Delta x_{2}+\cdots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Fehlergrenze}\, G_{i} \,\text{der Eingangsgröße}\, x_{i}:\, \Delta x_{i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac {\Delta x_{i}}{\|x_{i}\|}: \, \text{ relative Fehlergrenze}\, g_{i}\,\text{ der Eingangsgröße}\, x_{i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac {\Delta y}{\|y\|}:\quad \text{ relative Fehlergrenze} \, g_{y} \,\text{des Ergebnisses}\, y \end{eqnarray}$ Die allgemeine Lösung vereinfacht sich bei den vier Grundrechenarten: * Bei Addition und Subtraktion $\begin{eqnarray} G_{y}=G_{1}+G_{2} \end{eqnarray}$ * Bei Multiplikation und Division $\begin{eqnarray} g_{y}\ =g_{1}+g_{2} \end{eqnarray}$ d.h. deine partiellen Ableitung sind schon enthalten. Beispiel: Wenn $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ um bis 2 % zu groß oder zu klein und $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ um bis 3 % zu groß oder zu klein sein können: Dann kann bei der Multiplikation wie bei der Division y um bis 5 % zu groß oder zu klein sein. Kurz: die relative Fehlergrenze von $\begin{eqnarray} C_\alpha \end{eqnarray}$ ist die Summe der relativen Fehlergrenzen von $\begin{eqnarray} c_z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_n \end{eqnarray}$
17.01.2019, 10:22	chrisfromanotherstar	Auf diesen Beitrag antworten »
@dopap Vielen, vielen Dank
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17.01.2019, 12:03	chrisfromanotherstar	Auf diesen Beitrag antworten »
@dopap Da stellt sich für mich nur folgende Frage : Wenn ich im Zähler und Nenner (Addition bzw. Subtraktion) die absoluten Fehler addiere, wie erhalte ich daraus dann wieder die relativen Fehlergrenzen für den nächsten Schritt? In Relation zu den maximal Werten von p1-p5 setzen ? (±4,89kPa) Viele Grüße
17.01.2019, 13:30	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde sagen: du bestimmst im Zähler und im Nenner die absoluten Fehlergrenzen mit Addition dann sind diese vor der Division in relative Fehler umzurechnen - indem man die Absolutfehlergrenze jeweils durch den Absolutwert dividiert. Beispielhaft: sei $\begin{eqnarray} y:=\frac uv=\frac {a-b}{c+d} \end{eqnarray}$ mit den Absolutfehlergrenzen $\begin{eqnarray} G_a,G_b,G_c,G_d \end{eqnarray}$ dann ist der relative Fehler von u: $\begin{eqnarray} \frac{G_a+G_b}{a-b} \end{eqnarray}$ und der relative Fehler von v: $\begin{eqnarray} \frac{G_c+G_d}{c+d} \end{eqnarray}$ und dann wie gehabt...

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