Siebformel - Kugel & Fächer

28.12.2018, 17:04	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Siebformel - Kugel & Fächer Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe: Neun Kugeln fallen zufällig in vier Fächer. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt mindestens ein Fach leer? Meine Idee: Hier wird wohl die Siebformel verlangt. Sonst hätte ich dazu keinen direkten Ansatz da es mit Bernoulli irgendwie nicht funktioniert oder? Wir haben in der Uni noch folgende Formel bekommen: $\begin{eqnarray} \#A=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\binom{n}{k}(n-k)^r \end{eqnarray}$ Zur Aufgabe: Die Ergebnismenge $\begin{eqnarray} \Omega=\{1,...,4\}^9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+P(A_4)-P(A_1\cap A_2)-P(A_1\cap A_3)-P(A_1\cap A_4)-P(A_2\cap A_3)-P(A_2\cap A_4)-P(A_3\cap A_4)+P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(A_1)=\frac{3^9}{4^9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(A_2)=\frac{3^9}{4^9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(A_1\cap A_2)=\frac{2^9}{4^9} \end{eqnarray}$ ... Wenn ich das alles einsetze erhalte ich: $\begin{eqnarray} P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)=0,28864 \end{eqnarray}$ das mindestens ein Fach leer bleibt. Wenn ich das mal mit der Formel versuche die uns gegeben wurde, so erhalte ich mit n=4 und r=9: $\begin{eqnarray} P(\text{Mindestens ein Fach bleibt leer})=\frac{\#A}{\#\Omega}=\frac{\sum_{k=0}^{3}(-1)^k\binom{4}{k}(4-k)^9}{4^9}=\frac{186480}{4^9}=0,7113647461 \end{eqnarray}$ Was ist denn nun richtig und wieso? Vielen Dank und schöne Grüße
29.12.2018, 12:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht sollte man auch erstmal die Symbole/Ereignisse erklären, mit denen man da hantiert, bevor man sie in Formeln einsetzt. Hier wäre das $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ ... Fach $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ bleibt leer . Nach Siebformel ist hier dann $\begin{eqnarray} P\left( \bigcup_{i=1}^4 A_i\right) = \frac{1}{4^9}\sum_{k=1}^3 (-1)^{k-1} \binom{4}{k} (4-k)^9 \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein leeres Fach, während man über das Komplement $\begin{eqnarray} P\left( \bigcap_{i=1}^4 A_i^c\right) = P\left( \left(\bigcup_{i=1}^4 A_i\right)^c\right) = 1-P\left( \bigcup_{i=1}^4 A_i\right) = \frac{1}{4^9}\sum_{k=0}^3 (-1)^k \binom{4}{k} (4-k)^9 \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeit für kein leeres Fach bekommt.
29.12.2018, 15:15	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur zum Vergleich: die Näherungsformel $\begin{eqnarray} \left( 1-\left( 1-\frac14 \right)^9 \right)^4\approx 0.732 \end{eqnarray}$ ist für große Kugelzahlen brauchbar.

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