Integral berechnen

28.12.2018, 18:19	Ralf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral berechnen Meine Frage: Moin, Bei dieser Aufgabe $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{8} \! x^{-3^{-1} } \, dx \end{eqnarray}$ habe ich bei meiner Prüfungsvorbereitung etwas Schwierigkeiten. Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen! Meine Ideen: Mein Ansatz war zuerst die Stammfunktion zu berechnen: $\begin{eqnarray} \left[1,5x^{1,5^{-1} } \right]_{-1}^{8} \end{eqnarray}$ wo ich mir auch recht sicher bin dass es richtig ist aber beim berechnen der Fläche komme ich nicht weiter. Da $\begin{eqnarray} 1,5^{-1}<1 \end{eqnarray}$ kann ich nicht mit negativen werten rechnen beim bereich zwischen -1 und 0. Ich denke auch nicht dass ich mit i besonders weit komme. Vielen Dank im voraus für alle Korrekturen bzw. Ansätze Grüße Ralf
28.12.2018, 19:15	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke das wird dir klarer wenn du mit Brüchen statt Dezimalzahlen arbeitest. $\begin{eqnarray} x^{1,5^{-1}} = x^{\left({\frac{3}{2}}\right)^{-1}} = x^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ Damit sehen wir: $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{(-1)^2}=+1 \end{eqnarray}$
28.12.2018, 20:46	ralf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Das mit den Umformungen ist mir klar aber bin da etwas unsicher. Kann man also sagen dass z.B. $\begin{eqnarray} -3^{3^{-1} } = \sqrt[6]{-3^{2} } \end{eqnarray}$ ? Bedeutet das nicht dass man generell wurzeln aus negativen zahlen ziehen kann?
28.12.2018, 20:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} f(x) = x^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \end{align}$ Im allgemeinen sind bei gebrochenen Exponenten negative Basen nicht zulässig. Hier ist es aber wohl so gemeint, daß die dritte Wurzel auch für negative Radikanden definiert wird, zum Beispiel $\begin{align} \sqrt[3]{-8} = -2 \end{align}$ . Das eigentliche Problem ist jedoch die Stelle $\begin{align} x=0 \end{align}$ . Denn dort besitzt $\begin{align} f \end{align}$ einen Pol. Über diese Stelle darf man nicht einfach hinwegintegrieren, ohne sich ein paar Gedanken zur Existenz des Integrals zu machen. Strenggenommen muß man zwei Grenzwerte untersuchen: $\begin{align} \beta = \lim_{b \uparrow 0} \int_{-1}^b f(x) ~ \dd x \ , \ \ \alpha = \lim_{a \downarrow 0} \int_a^8 f(x) ~ \dd x \end{align}$ Wenn beide Grenzwerte im eigentlichen Sinn existieren, dann gilt schließlich $\begin{align} \int_{-1}^8 f(x) ~ \dd x \ = \ \alpha + \beta \end{align}$ Daß man dasselbe erhält, wenn man mittels $\begin{align} F(x) = \frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{x^2} \end{align}$ die Differenz $\begin{align} F(8)-F(-1) \end{align}$ berechnet, sollte nicht als Rechtfertigung dafür dienen, die Polstelle einfach mal so zu ignorieren. EDIT Ich sehe gerade, daß Ralf1, während ich meinen Beitrag abgefaßt habe, geantwortet hat. Ein Hinweis: Möglicherweise liegen deine Rechenprobleme darin begründet, daß du nicht weißt, wie du in einen Term wie $\begin{align} \sqrt[3]{x^2} \end{align}$ für $\begin{align} x \end{align}$ eine negative Zahl einsetzt. Für $\begin{align} x=-8 \end{align}$ ergibt das zum Beispiel $\begin{align} \sqrt[3]{(-8)^2} \end{align}$ . Beachte die Klammern.

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