Lineare Algebra, direkte Summe

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Belli Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Algebra, direkte Summe
Meine Frage:
Hey, es geht um folgende Aufgabe:

Zeige, dass die folgenden Aussagen für Unterräume U1,...,Un eines K-Vektorraums V äquivalent
sind:
(a) V =U1?···?Un;
(b) V =U1+···+Un und Uiverwirrt U1+···+Ui?1+Ui+1+···+Un)={0}für alle i=1,...,n.

Meine Ideen:
Mein Problem ist überhaupt mal einen Ansatz zu finden bei dieser Aufgabe. Ich verstehe die direkte Summe nicht wirklich. Kann mir jemand helfen und mir Tipps geben? Das wäre super lieb!
Belli Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra, direkte Summe
Irgendwie hat das Programm nicht alle Zeichen korrekt übernommen.
Die Fragezeichen in a) sollen die Zeichen für direkte Summe sein (also ein Plus im Kreis). Bei der b) ist der Emoji ein geschnitten Zeichen und das Fragezeichen ein Minus. Tut mir leid. Gruß, Belli
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra, direkte Summe
Zitat:
Original von Belli

Zeige, dass die folgenden Aussagen für Unterräume eines -Vektorraums äquivalent
sind:
(a)
(b) und für alle .


Ist das nicht nur die Definition der direkten Summe ? Wenn nicht, schreibe bei a) die Definition hin und beweise die Äquivalenz zu b). Summe=Summe ist trivial, der Rest ist Mengenlehre (wann sind zwei Mengen gleich ?).
Belli Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra, direkte Summe
Ja, das ist die Definition.
Zwei Mengen sind gleich, wenn die Schnittmenge und die Vereinigungsmenge gleich sind, oder?
Und vielen Dank für die Antwort, sie hat mir schon einmal etwas weitergeholfen!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann aber in dieser Aufgabe nicht die Definition der direkten Summe sein. Die Definition der direkten Summe sollst du unter a) aufschreiben. Sinn der Aufgabe kann nur sein, die Definition in a) mit der Definition in b) zu vergleichen. Das macht man dann durch Anwendung der Mengenlehre.
Nein, gilt immer, das kann nicht begründen. stimmt zwar, ist aber nicht wirklich hifreich. 2 Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Sie sind genau dann gleich, wenn jedes Element der einen Menge in der anderen Menge enthalten ist und umgekehrt. Sie sind genau dann gleich, wenn die gegenseitige Teilmengenrelation gilt.
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