Faltung von Dichten

30.12.2018, 15:02

ani151

Faltung von Dichten

Meine Frage:
Hallo,

ich habe die Identität $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(s,t)=\lambda ^2 e^{-\lambda t} \hspace{1cm} 0 \leq s \leq t \end{eqnarray*}$ gegeben. Wobei X,Y Exponentialverteilte ZG sind.
Jetzt soll aus der Setzung a:=X, b:=X-Y und der Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit direkt folgen, dass:
$\begin{eqnarray*} f_{a,b}(u,v)=\lambda ^2 e^{-\lambda (u+v)} \hspace{1cm} 0\leq u,v \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Habt ihr irgendwelche Tipps bzw. Hinweise?

01.01.2019, 12:06

ani151

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Irgendjemand eine Idee?

02.01.2019, 09:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von ani151
ich habe die Identität $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(s,t)=\lambda ^2 e^{-\lambda t} \hspace{1cm} 0 \leq s \leq t \end{eqnarray*}$ gegeben.

Ich würde das nicht Identität, sondern zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte nennen.

Zitat:

Original von ani151
Wobei X,Y Exponentialverteilte ZG sind.

Mit der gegebenen Dichte ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ tatsächlich exponentialverteilt. Auf $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ trifft das aber nicht zu: Die Rechnung ergibt, dass $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ erlangverteilt $\begin{eqnarray*} \operatorname{Erl}(\lambda,2) \end{eqnarray*}$ ist!

Die Dichte von $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ (lateinische Kleinbuchstaben für Zufallsgrößen sind zwar nicht verboten, widersprechen aber gängigen Konventionen) kann man aus dem Transformationssatz bestimmen. Inwiefern man dann noch Gedächtnislosigkeit (dann ja allenfalls von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ) benötigen soll, erschließt sich mir aber nicht.

P.S.: Es soll auch vermutlich $\begin{eqnarray*} b:=Y-X \end{eqnarray*}$ statt wie von dir geschrieben $\begin{eqnarray*} b:=X-Y \end{eqnarray*}$ heißen.

04.01.2019, 18:52

ani151

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Danke, der Tipp mit dem Transformationssatz hat mir sehr geholfen!
Ich stehe jetzt vor einem anderen Problem, ich will insgesamt zeigen, dass die Zufallsgrößen a und b unabhängig exponential verteilt sind.
Ich habe also jetzt die gemeinsame Dichte und muss noch die letzte Gleichung zeigen:

$\begin{eqnarray*} f_{a,b}(u,v)=\lambda e^{-\lambda u} \cdot \lambda e^{-\lambda v}=f_a(u)\cdot f_b(v) \end{eqnarray*}$ .
Wie $\begin{eqnarray*} f_a(u) \end{eqnarray*}$ verteilt ist wie der linke Faktor weiß ich, allerdings komme ich nicht auf die Dichte $\begin{eqnarray*} f_b(u) \end{eqnarray*}$ . verwirrt

04.01.2019, 18:55

HAL 9000

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Was willst du denn mit $\begin{eqnarray*} f_b(u) \end{eqnarray*}$ ??? Du hast eine Faktorisierung

$\begin{eqnarray*} f_{a,b}(u,v) = f_a(u)\cdot f_b(v) \end{eqnarray*}$

erreicht, das ist doch hinreichend für Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ . D.h., du bist damit doch schon fertig!

04.01.2019, 18:59

ani151

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Sorry, blöd von mir geschrieben. Genau die von dir genannte Faktorisierung habe ich halt angedacht zu zeigen. Ich habe aber bisher nur $\begin{eqnarray*} f_{a,b}(u,v)=\lambda e^{-\lambda u} \cdot \lambda e^{-\lambda v} \end{eqnarray*}$ , eben durch die Rechnung mit dem Transformationssatz für Unabhängigkeit muss ich jetzt die genannte Gleichung zeigen aber kenne die einzel Dichte von b nunmal nicht verwirrt

05.01.2019, 14:35

HAL 9000

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Zwei Möglichkeiten:

a) Du berechnest die Randdichten

$\begin{eqnarray*} f_a(u) = \int\limits_0^{\infty} f_{a,b}(u,v) ~ \dd v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_b(u) = \int\limits_0^{\infty} f_{a,b}(u,v) ~ \dd u \end{eqnarray*}$

und siehst dann, dass $\begin{eqnarray*} f_{a,b}(u,v) = f_a(u)\cdot f_b(v) \end{eqnarray*}$ stimmt.

b) Noch einfacher: Ist $\begin{eqnarray*} f_{a,b}(u,v) \end{eqnarray*}$ faktorisierbar in dem Sinne $\begin{eqnarray*} f_{a,b}(u,v) = g(u)\cdot h(v) \end{eqnarray*}$ , dann ist das auch bereits ausreichend!!! Die Funktionen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ sind bis auf einen noch anzupassenden konstanten Normierungsfaktor dann identisch mit den Randdichten $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f_b \end{eqnarray*}$ .

Wenn du mit dem einfacheren b) nichts anzufangen weißt, dann nimm eben a), da sollte es keine Unklarheiten geben.

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