Folge, bei welcher die Menge aller Häufungspunkte das Intervall [0,1] ist

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30.12.2018, 17:59	Nullteiler	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge, bei welcher die Menge aller Häufungspunkte das Intervall [0,1] ist Meine Frage: Ich habe folgende Aufgabenstellung: Sei x eine irrationale Zahl. Sei reelle Folge b_n(x) gegeben mit b_n(x) := nx - [nx] , n natürliche Zahl [] bezeichnet hierbei die Gaußklammer. Zeige: Jede reelle Zahl a mit 0 <= a <= 1 ist Häufungspunkt der Folge b_n(x) Meine Ideen: Ich konnte zeigen, dass gilt: Wenn k != l => b_n(k) != b_n(l) (Falls b_n(k) = b_n(l) gilt, und man die Gleichung nach x auflöst, ist x rational. Widerspruch zur Voraussetzung) Die Folge b_n(x) streut also recht gut in dem Intervall [0,1). Eine Tatsache die für den Beweis sicher nützlich ist. Die Folge ist beschränkt, da sie auf das Intervall [0,1) abbildet. Dann folgt mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß, dass sie eine konvergente Teilfolge besitzt. Damit ist ein Häufungspunkt gefunden. Ich soll aber zeigen, dass sie überabzählbar viele Häufungspunkte besitzt.
31.12.2018, 09:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hilft hier der Dirichletsche Approximationssatz, ich weiß aber noch nichts genaues. Übrigens genügt es, wenn alle rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 Häufungspunkte sind, weil $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ dicht ist.
02.01.2019, 12:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe immer noch keinen richtigen Beweis, daher kann ich nur ein Argument anführen , das vielleicht nützlich ist. Eine irrationale Zahl x ist in der Darstellung als Dezimalzahl nicht periodisch, also immer "unregelmäßig genug", so dass bei Multiplikation mit natürlichen Zahlen zu erwarten ist, dass sich die b_n(x) gleichmässig im Intervall (0,1) verteilen. Weil es abzählbar viele b_n(x) gibt, genügt das, damit jedes a in [0,1] ein Häufungspunkt ist.
02.01.2019, 22:58	hilbert23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge, bei welcher die Menge aller Häufungspunkte das Intervall [0,1] ist Ich habe zwar noch keinen völlig wasserdichten Beweis, aber eine Idee wie es gehen könnte: Schritt 1: Sei e > 0 beliebig vorgegeben und \|x\| < e \| b_n(x) - a \| = \| nx - [nx] - a \| = \| nx - x[nx](1/x) - x(a/x) \| (da x irrational ist x insbesondere ungleich 0) = \|x\| \| n - [nx]/x - a/x \| Die Folge c_n(x) := n - [nx]/x lässt sich nun leichter untersuchen als die ursprüngliche Folge b_n(x), vor allem weil durch den Term a/x ein einfacherer mathematischer Bezug zwischen a und x hergestellt ist . Man kann relativ leicht einsehen, dass die Folge c_n(x) ungefähr 1/x-periodisch ist und sich der Wertebereich von ungefähr 0 bis ungefähr 1/x erstreckt. Da eine Periode trivialerweise in 1er-Schritten durchlaufen wird, gibt es für jedes a/x eine Teilfolge d_n(x) von c_n(x) mit \| d_n(x) - a/x \| < 1. Insgesamt folgt dann: Es existiert für jede natürliche Zahl N ein n >= N mit \| b_n(x) - a \| < e Sieht zwar schon ganz gut aus, aber der Wertebereich von x wird wegen dem wegen \|x\| < e eingeschränkt. Daher ist das Obige nur ein (möglicher) Beweisbaustein. Wie ich das zusammenbastele bitte weiterlesen. Schritt 2: Durch ein bisschen Herumspielen mit der Folge b_n(x) kann man sehen, dass für allgemeines irrationales x gilt: b_[mk] (x) = b_m( b_[n+k](x) - b_n(x) ) Man kann also Teilfolgen b_[mk] (x) der Folge b_n(x) bilden, welche das allgemeine irrationale Argument x auf eine andere Teilfolge b_m mit dem irrationalen Argument b_[n+k](x) - b_n(x) abbilden. Schritt 3: Wenn man jetzt noch b_[n+k](x) - b_n(x) mit der nach Bolzano-Weierstraß existierenden Cauchy-Folge identifiziert ist man fertig: Es existieren Teilfolgen von b_[mk](x) und damit Teilfolgen von b_n(x) mit \|b_[mk] (x) - a\| = \|b_m( b_[n+k](x) - b_n(x) ) - a\| < e ( wegen b_[n+k](x) - b_n(x) < e und Schritt 1)
02.01.2019, 23:56	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich finde es einfacher, sich die Situation auf dem Torus anzusehen anstatt auf der reellen Achse. Die Fragestellung ist äquivalent dazu, ob die Punkte $\begin{eqnarray} \exp(2\pi i nx) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ dicht auf dem Torus $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ liegen. Die Menge dieser Punkte $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist unter Multiplikation abgeschlossen. Findet man nun in $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ einen Punkt $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ , der sehr kleines komplexes Argument hat, etwa $\begin{eqnarray} 0<\operatorname{arg}(y)<\epsilon \end{eqnarray}$ und schaut sich die Potenzen von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ an, so bleibt man in $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und überdeckt den Torus mit einem Netz aus Punkten, die von ihren Nachbarn weniger als $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ entfernt sind. Findet man nun zu beliebig kleinem Argument $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ so einen Punkt $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ , kann man daraus die Dichtheit schließen. Jetzt muss man sich nur noch klar machen, warum es so einen Punkt zu jedem vorgegebenem Argument $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ gibt. Das folgt aus dem Schubfachprinzip und der Injektivität der Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb N\to S^1,n\mapsto\exp(2\pi i n x) \end{eqnarray}$ . Wenn man beliebig viele Punkte auf dem Einheitskreis hat, die alle unterschiedlich sind, müssen zwei davon dichter beieinander liegen, als $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ . Jetzt muss man aus diesen zwei Punkten nur noch einen machen, der kleines Argument hat..
03.01.2019, 01:12	hilbert23	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht ob "Nullteiler" schon soviel Topologie gehört hat um deine Lösung glaubhaft in seinem Übungszettel verwerten zu können bzw. verwerten zu dürfen. Ich persönlich verorte "Nullteiler" in einer Analysis I-Vorlesung als einen Studi, der vor einer schwierigen Aufgabe steht, die er mit Mitteln der Vorlesung bewältigen will.
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03.01.2019, 02:09	Nullteiler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge, bei welcher die Menge aller Häufungspunkte das Intervall [0,1] ist Ich verstehe, ehrlich gesagt, weder die Lösung von hilbert23 noch die Lösung von gruppi12 so richtig.
03.01.2019, 02:20	Nullteiler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge, bei welcher die Menge aller Häufungspunkte das Intervall [0,1] ist Die Aufgabe ist Teil meines Üb-Zettels in der AnalI-VL. Warum ist SCHRITT 1 nicht schon die Lösung?
03.01.2019, 10:57	hilbert23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge, bei welcher die Menge aller Häufungspunkte das Intervall [0,1] ist SCHRITT 1 ist noch keine Lösung, da der Wertebereich von x in der Voraussetzung ( \|x\| < e ) durch e selbst eingeschränkt wird. Dies hatte ich ja schon geschrieben.

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