Integralgrenzen und Substitution

02.01.2019, 02:02

Fridolean

Integralgrenzen und Substitution

Meine Frage:
Liebe Forengemeinde,

ich bitte euch beim Thema Integralrechnung um Hilfe. Die rot markierten Schritte im angehängten Screenshot kann ich nicht nachvollziehen. Dass hierbei die Intervalladditivität eine Rolle spielt ist mir klar. Jedodoch komme ich mit den Vorzeichen nicht klar und der angedeuteten Substitution.
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty } \! f(x) \, dx \Rightarrow \int_{-\infty }^{0} \! f(x) \, dx + \int_{0}^{\infty } \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$
bzw im Anschluss:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! f(x) \, dx + \int_{0}^{\infty } \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bis auf die Intervalladitivität bin ich leider ahnungslos...

Edit (mY+): Screenshot - Grafik anhängen funktioniert auch und ist besser! 10x ZIP herunterladen zu müssen ist unlukrativ.

02.01.2019, 10:21

Steffen Bühler

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RE: Integralgrenzen und Substitution
Willkommen im Matheboard!

Zunächst wird das Betragszeichen mit $\begin{eqnarray*} |z|=-z, z<0 \end{eqnarray*}$ aufgelöst, danach wird ausgenutzt, dass der Integrand eine ungerade Funktion ist, so dass gilt $\begin{eqnarray*} f(-z)=-f(z) \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

02.01.2019, 11:01

Leopold

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RE: Integralgrenzen und Substitution
Man hätte natürlich gleich

$\begin{align*} \int_{- \infty}^{\infty} |z| \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{z^2}{2}} ~ \dd z \ = \ 2 \int_0^{\infty} z \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{z^2}{2}} ~ \dd z \end{align*}$

rechnen können. Schließlich ist der Integrand eine gerade Funktion.

Zitat:

Original von Steffen Bühler
danach wird ausgenutzt, dass der Integrand eine ungerade Funktion ist, so dass gilt $\begin{eqnarray*} f(-z)=-f(z) \end{eqnarray*}$

Das sehe ich nicht so. Es wird genau das getan, was unter der Rechnung im Text steht.

02.01.2019, 19:30

Fridolean

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RE: Integralgrenzen und Substitution
Vielen lieben Dank erstmal für eure Hilfe.

@Leopold:
Ok, das mit der Symmetrie habe ich nicht bedacht. Wenn ich nach der Logik im Bild gehe hätte ich demnach zunächst die Betragsfunktion als Integrand, der achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Nutze ich die Intervalladditivität und ziehe das Minus vor das Integralzeichen lande ich beim zweiten Gleichheitszeichen. Nun ist mir aber der Schritt 2 auf 3 nicht klar. Bei Vertauschen der Integrationsgrenzen komme ich von $\begin{eqnarray*} -\int_{-\infty}^{0} \! \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{-\infty} \! \end{eqnarray*}$ beim ersten Integral. Wie kommt man nun von hier (durch Substitution?) auf $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \! \end{eqnarray*}$ ?

02.01.2019, 23:27

Leopold

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$\begin{align*} - \int_{- \infty}^0 z \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{z^2}{2}} ~ \dd z \end{align*}$

Vertauschen der Grenzen:

$\begin{align*} = \ \int_0^{- \infty} z \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{z^2}{2}} ~ \dd z \end{align*}$

Substituieren von $\begin{align*} z = -y \end{align*}$ :

$\begin{align*} = \ \int_0^{\infty} (-y) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{(-y)^2}{2}} ~ \dd (-y) \end{align*}$

Es ist $\begin{align*} (-y)^2 = y^2 \end{align*}$ und $\begin{align*} \dd (-y) = - \dd y \end{align*}$ , daher

$\begin{align*} = \ \int_0^{\infty} (-y) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{y^2}{2}} ~ (- \dd y) \end{align*}$

"Minus mal minus gibt plus":

$\begin{align*} = \ \int_0^{\infty} y \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{y^2}{2}} ~ \dd y \end{align*}$

Umbenennung der Integrationsvariablen:

$\begin{align*} = \ \int_0^{\infty} z \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{z^2}{2}} ~ \dd z \end{align*}$

03.01.2019, 00:01

Fridolean

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Super, vielen Dank für deine Hilfe!

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