Nicht-Isomorphe Gruppen gleicher Ordnung

Neue Frage »

Chrischan89 Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht-Isomorphe Gruppen gleicher Ordnung
Meine Frage:
Hallo,
erstmal frohes neues Jahr zusammen

gibt es einen Trick anhand der Gruppenordnung herauszufinden, wie viele nicht-isomorphe Gruppen es gibt?
Bei Wikipedia habe ich folgenden Artikel gefunden:
https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen

Gibt es nun einen Trick, dass ich eine Ordnungstafel bzw. Potenztafel wie in diesem Artikel erstellen kann?

https://www.degruyter.com/view/j/crll.1962.issue-211/crll.1962.211.169/crll.1962.211.169.xml



Meine Ideen:
Habe schon die Theorie aufgestellt, dass ich einfach die Elemente mit der höchsten Ordnung rausnehme, und dann eine Gruppe ohne diese Ordnung nehme.

Also als Beispiel:

Ordnung der Gruppe 9: 9 = 3² also habe ich als Ordnungen 1,3 und 9.
Also kann ich eine Gruppe bilden, die alle Ordnungen erhält also (1x o1; 2x o3 und 6x o9). Da alle Primzahlen vorliegen müssen kann ich also auch nur Elemente der Ordnung 3 nehmen (also 1x o1 und 8x o3). Daher hab ich 2 Gruppen die nicht isomorph sind.

Dies funktioniert auch bei 10, oder bei 8

Allerdings macht mir die 15 = 5 x 3 einen Strich durch die Rechnung. Gibt es irgendwie eine Möglichkeit oder einen Trick, es schnell rauszufinden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wiki/Liste_kleiner_Gruppen Small Groups Library: 49.487.365.422 Gruppen der Ordnung 1024
allein diese Zahl sollte deutlich machen, dass Gruppentheorie nicht trivial ist.

Eine gute Einführung in die Gruppentheorie bietet m.E. Kurzweil, Stellmacher "Theorie der endlichen Gruppen - Eine Einführung" Springer Lehrbuch 1998
 
 
NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht ganz, was du mit deinen Ideen sagen möchtest, aber es besteht keine Hoffnung, eine gute, geschlossene Formel für die Funktionswerte der Abbildung


,


zu finden. Folgende heuristische Überlegungen belegen dies:

  • Ist eine Primzahl, so ist .
  • Ist ein Primzahlquadrat, so ist (es gibt nur abelsche Gruppen von Primzahlquadratordnung).
  • Ist die dritte Potenz einer Primzahl, so ist (davon sind drei Isomorphieklassen abelscher Gruppen). Das ist zwar noch relativ elementar zu sehen, aber man benötigt schon etwas Theorie.
  • Ist eine Potenz einer Primzahl mit größerem Exponenten als , so hängt es stark von eben dieser Primzahl ab, was ist. So ist z.B. , aber .
  • Ist das Produkt zwier Primzahlen , so gilt , falls und sonst. Das folgt aus den Sylowsätzen. (Deswegen hast du beispielsweise bei die Diedergruppe mitgezählt, aber auch herausgefunden, dass es bei Ordnung nichts vergleichbares gibt.)


Im Allgemeinen muss man die Sylow- und, wenn man auflösbare Gruppen untersucht, die Hallsätze zu Rate ziehen, um Aussagen über Normalteiler der Gruppe erhalten zu können. Am Ende hat man dann hoffentlich eine Liste von paarweise nicht isomorphen Kandidaten, und die Theorie (Sylowsätze etc.) sagt einem, dass man alles gefunden hat. Aber auf eine geschlossene Formel für besteht keine Hoffnung.
NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur:

Im Stichpunkt von müssen die Fälle genau umgekehrt sein, d.h. , falls und , sonst.
Chrischan89 Auf diesen Beitrag antworten »

Also,

danke erstmal für die Hinweise.

Die Aufgabenstellung lautete: Es gibt, bis auf Isomorphie, zwei Gruppen der Ordnung 6. Was lässt sich über größere Ordnungen sagen?

Die Antworten helfen mir aber schon sehr weiter.

Gibt es nicht noch die Regel, dass man die Hochzahlen der Primfaktorzerlegung addiert um die Anzahl abelscher Gruppen rauszufinden? Bzw. die Anzahl, diese Hochzahl als Summe darzustellen.

Bsp:


d.h. es gibt 4 nicht-isomorphe abelsche Gruppen der Ordnung 16
Chrischan89 Auf diesen Beitrag antworten »

edit. ich meine 5 nicht isomorphe, abelsche gruppen
NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das zweite Gleichheitszeichen ist natürlich Mist, aber das weißt du selbst.

Willst du abelsche Gruppen bestimmter Ordnung () klassifizieren, musst du, wie du richtig vermutet hast, jedes als Summe von positiven ganzen Zahlen schreiben. Die Gesamtheit aller solcher Zerlegungen liefert dir

1) Die Anzahl von Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung .
2) Eben diese Isomorphieklassen.

Das gibt aber noch lange keine Aussage über nicht-abelsche Gruppen der Ordnung . In dieser Hinsicht finde ich die Aufgabenstellung komisch; im Allgemeinen gibt es keine Formel o.ä., wie ich das ja gesagt habe. Für Gruppen der Ordnung , prim, kann man aber z.B. ja was sagen.
Chrischan89 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ja sorry Big Laugh

Das 2. = ist wirklich Mist Big Laugh

Danke für die Hilfe smile
Chrischan89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NurEinGast
Die Gesamtheit aller solcher Zerlegungen liefert dir

1) Die Anzahl von Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung .
2) Eben diese Isomorphieklassen.


Die Gesamtheit heisst aber multipliziert oder? Also



mit

# Summen für
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »