Nicht-Isomorphe Gruppen gleicher Ordnung |
02.01.2019, 17:02 | Chrischan89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht-Isomorphe Gruppen gleicher Ordnung Hallo, erstmal frohes neues Jahr zusammen gibt es einen Trick anhand der Gruppenordnung herauszufinden, wie viele nicht-isomorphe Gruppen es gibt? Bei Wikipedia habe ich folgenden Artikel gefunden: https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen Gibt es nun einen Trick, dass ich eine Ordnungstafel bzw. Potenztafel wie in diesem Artikel erstellen kann? https://www.degruyter.com/view/j/crll.1962.issue-211/crll.1962.211.169/crll.1962.211.169.xml Meine Ideen: Habe schon die Theorie aufgestellt, dass ich einfach die Elemente mit der höchsten Ordnung rausnehme, und dann eine Gruppe ohne diese Ordnung nehme. Also als Beispiel: Ordnung der Gruppe 9: 9 = 3² also habe ich als Ordnungen 1,3 und 9. Also kann ich eine Gruppe bilden, die alle Ordnungen erhält also (1x o1; 2x o3 und 6x o9). Da alle Primzahlen vorliegen müssen kann ich also auch nur Elemente der Ordnung 3 nehmen (also 1x o1 und 8x o3). Daher hab ich 2 Gruppen die nicht isomorph sind. Dies funktioniert auch bei 10, oder bei 8 Allerdings macht mir die 15 = 5 x 3 einen Strich durch die Rechnung. Gibt es irgendwie eine Möglichkeit oder einen Trick, es schnell rauszufinden? |
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02.01.2019, 18:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wiki/Liste_kleiner_Gruppen Small Groups Library: 49.487.365.422 Gruppen der Ordnung 1024 allein diese Zahl sollte deutlich machen, dass Gruppentheorie nicht trivial ist. Eine gute Einführung in die Gruppentheorie bietet m.E. Kurzweil, Stellmacher "Theorie der endlichen Gruppen - Eine Einführung" Springer Lehrbuch 1998 |
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02.01.2019, 18:04 | NurEinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe nicht ganz, was du mit deinen Ideen sagen möchtest, aber es besteht keine Hoffnung, eine gute, geschlossene Formel für die Funktionswerte der Abbildung , zu finden. Folgende heuristische Überlegungen belegen dies:
Im Allgemeinen muss man die Sylow- und, wenn man auflösbare Gruppen untersucht, die Hallsätze zu Rate ziehen, um Aussagen über Normalteiler der Gruppe erhalten zu können. Am Ende hat man dann hoffentlich eine Liste von paarweise nicht isomorphen Kandidaten, und die Theorie (Sylowsätze etc.) sagt einem, dass man alles gefunden hat. Aber auf eine geschlossene Formel für besteht keine Hoffnung. |
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02.01.2019, 18:06 | NurEinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Korrektur: Im Stichpunkt von müssen die Fälle genau umgekehrt sein, d.h. , falls und , sonst. |
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06.01.2019, 12:45 | Chrischan89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, danke erstmal für die Hinweise. Die Aufgabenstellung lautete: Es gibt, bis auf Isomorphie, zwei Gruppen der Ordnung 6. Was lässt sich über größere Ordnungen sagen? Die Antworten helfen mir aber schon sehr weiter. Gibt es nicht noch die Regel, dass man die Hochzahlen der Primfaktorzerlegung addiert um die Anzahl abelscher Gruppen rauszufinden? Bzw. die Anzahl, diese Hochzahl als Summe darzustellen. Bsp: d.h. es gibt 4 nicht-isomorphe abelsche Gruppen der Ordnung 16 |
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06.01.2019, 12:46 | Chrischan89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
edit. ich meine 5 nicht isomorphe, abelsche gruppen |
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06.01.2019, 13:10 | NurEinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, das zweite Gleichheitszeichen ist natürlich Mist, aber das weißt du selbst. Willst du abelsche Gruppen bestimmter Ordnung () klassifizieren, musst du, wie du richtig vermutet hast, jedes als Summe von positiven ganzen Zahlen schreiben. Die Gesamtheit aller solcher Zerlegungen liefert dir 1) Die Anzahl von Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung . 2) Eben diese Isomorphieklassen. Das gibt aber noch lange keine Aussage über nicht-abelsche Gruppen der Ordnung . In dieser Hinsicht finde ich die Aufgabenstellung komisch; im Allgemeinen gibt es keine Formel o.ä., wie ich das ja gesagt habe. Für Gruppen der Ordnung , prim, kann man aber z.B. ja was sagen. |
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06.01.2019, 13:29 | Chrischan89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh, ja sorry Das 2. = ist wirklich Mist Danke für die Hilfe |
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06.01.2019, 13:45 | Chrischan89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Gesamtheit heisst aber multipliziert oder? Also mit # Summen für |
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