Integral Bruch mit Integrationsvariable im Zähler und Nenner

02.01.2019, 19:43	Integrandeur	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Bruch mit Integrationsvariable im Zähler und Nenner Meine Frage: Hallo zusammen. Ich wollte zum Spaß nochmal ein bisschen integrieren und mir ist aufgefallen, dass ich wohl etwas essentielles nicht verstanden habe. Betrachten wir die Übungsaufgaben des LP Göttingen ( https://lp.uni-goettingen.de/get/text/1880 ), insbesondere Aufgabe 7: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x}{a^{2} + x^{2}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich will ja die Stammfunktion davon bilden. Nun habe ich mir folgendes gedacht: Nenner ist "hässlich", also substituieren wir den Kram. $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x}{u(x)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u(x) = a^{2} + x^{2} \end{eqnarray}$ Jetzt haben wir noch $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x}{u(x)} \end{eqnarray}$ . Das ist gleich: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{u(x)} x \end{eqnarray}$ . Der Bruch ist nun kein Problem (ln(u(x))), aber dann geht's los: Ich weiß, wie mann du berechnet. Aber ich habe im Kopf, dass es einfach reichen würde, durch die innere Ableitung zu teilen. Also $\begin{eqnarray} * \frac{1}{-2x} \end{eqnarray}$ . Meine Lösung wäre dann: $\begin{eqnarray} ln(a^{2} + x^{2}) \frac{1}{-2x} \end{eqnarray}$ . Das ist nur der Bruch. Jetzt fehlt da aber natürlich das *x, das ich unterschlagen habe. Also dachte ich mir: Naja, mache ich Partielle Integration, weil die Integrationsvariable in beiden Teilen des Produkts drinsteht. Das passt aber nicht mit der Musterlösung auf der Seite zusammen, also mache ich was falsch. Mein Hauptproblem ist, wie ich mit dem x im Zähler umgehen soll. Kann mir jemand helfen, auf die Lösung zu kommen, ohne sie mir zu verraten? Ich würde gerne verstehen, was ich falsch mache. Grüße, I
02.01.2019, 20:18	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, lies noch mal nach wie man richtig substituiert: https://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution
02.01.2019, 21:33	Integrandeur	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, und erstmal vielen Dank für die Hilfe! Leider hat das jetzt aber schon die Lösung vorweggenommen, womit ich jetzt nicht wirklich viel dabei gelernt habe. Ich hab' das dann noch "bewiesen" (ist ja nicht wirklich eine Leistung) und sehe ein, dass das funktioniert. Da wir ja aber Mathematik machen, müssten doch auch die anderen Wege (also Substitution und Partielle Integration) funktionieren, oder nicht? Ich muss da ja noch irgendeinen Denkfehler haben, zumal mein Versuch mit der Partiellen Integration ja nicht von Erfolg gekrönt war. Ich muss da noch ein bisschen weiter probieren, nehme ich an. Anders gefragt: Ist es überhaupt möglich, die Aufgabe mit Partieller Integration zu lösen?
02.01.2019, 23:14	HNF	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Ich mache es mal für Dich: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! \frac{x}{a^2+x^2} \, dx \end{eqnarray}$ Man setzt: $\begin{eqnarray} u= a^2 + x^2 \end{eqnarray}$ Nun differenziert man u nach x. Am Ende alles einsetzten. $\begin{eqnarray} \frac{du}{dx} = 2x<br /> \Rightarrow <br /> du= 2xdx \end{eqnarray}$
02.01.2019, 23:53	Integrandeur	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmals hallo zusammen, ich bin ein Volldepp ( ): -Erstens ist meine (innere) Ableitung im Eingangspost natürlich falsch, es muss ja +2x sein. Damit kommt man auch aufs richtige Ergebnis. (Hierzu aber später noch eine Frage) HNF hat in seinen Ausführungen (mMn.) einen Schreibfehler: Die Substitution an sich ist (wie bei mir oben) okay. Wir lösen $\begin{eqnarray} du/dx \end{eqnarray}$ aber bitte nach $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ auf. Damit erhalten wir $\begin{eqnarray} dx = \frac{du}{2x} \end{eqnarray}$ . Damit kürzt sich das x nämlich raus, und es bleibt $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \frac{1}{2 } \frac{1}{ u(x)} \, du \end{eqnarray}$ Was gleich ist mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{2 } * \int_{}^{} \! \frac{1}{ u(x)} \, du \end{eqnarray}$ Was gleich ist mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{2 } ln(u(x)) \end{eqnarray}$ Was gleich ist (Rücksubstitution) mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{2 } ln(a^2 + x^2) \end{eqnarray}$ Was die erwartete Lösung ist. Nun aber zu meiner Frage: Dies hat nur funktioniert, weil ich das x im Zähler "wegkürzen" konnte. Was machen wir, wenn das nicht klappt? Wenn da zum Beispiel $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{ x + 34}{a^2 + x^2} \end{eqnarray*}$ gestanden hätte? Dann hätten wir nämlich ein Problem. Kann man mehrmals nacheinander substituieren? Würde hier - glaube ich- nichts bringen, da die Ableitung dann = 1 wäre, womit wir nichts wegkriegen. Geht das dann also kaputt, oder kann man dann was anderes machen? Grüße, I
03.01.2019, 10:51	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen und ein glückliches neues Jahr! Aus $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x+34}{a^2+x^2} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} f(x)= \frac x{a^2+x^2} + \frac{34}{a^2+x^2} \end{eqnarray}$ Die Integration des ersten Summanden ist bekannt. Den zweiten Summanden umformen zu $\begin{eqnarray} \frac{34}{a^2+x^2} = 34 \cdot \frac1{a^2\left(1+\left(\frac xa \right)^2 \right)} \end{eqnarray}$ wodurch deutlich wird, dass das Integral eine verkettete Arcustangensfunktion ist. EDIT: Tippfehler beseitigt
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03.01.2019, 11:39	Integrandeur	Auf diesen Beitrag antworten »
Frohes neues Jahr zurück, super, vielen Dank! Hab' ich verstanden. Generell vielen Dank an alle, Ihr habt mir sehr weitergeholfen. Grüße, I

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