Seminararbeitsthemen Zahlentheorie gesucht

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mphch02 Auf diesen Beitrag antworten »
Seminararbeitsthemen Zahlentheorie gesucht
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich muss im Rahmen meines Abiturs eine Seminararbeit aus der Zahlentheorie schreiben, habe aber noch kein passendes Thema gefunden. Ich danke für Eure Ideen!

Meine Ideen:
L'Hospitalsche Regeln, Diophantische Gleichungen, p-adische Zahlen, Zahlentheoretische Funktionen (Möbiusinversion, Formale Potenzreihen etc.), Eulersche Phifunktion
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Seminar in der Schule? Mein erstes Seminar fand nach dem Vordiplom an der Universität statt.
Zahlentheorie in der Schule? Sehr mutig! Wenn du etwas mehr über deine Vorkenntnisse und Fähigkeiten mitteilst, gebe ich dir gerne einige Hinweise zu möglichen Themen.
 
 
mphch02 Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie
Hallo Elvis,

bei uns in Bayern ist das so, dass man in der Oberstufe (11. + 12.) eine Doppelstunde in einem Fach ein spezielles Thema für die besonders Interessierten hat, z.B. das Leitfach Mathematik mit dem Thema Zahlentheorie oder Leitfach Physik mit dem Thema Astrophysik oder Geschichte mit dem Thema Osteuropapolitik etc. In diesem ,,Seminar" lernt man dann erstmal alle Grundlagen wissenschaftlichen Schreibens, d.h. Quellenarbeit, Zitationsweise, Aufbau, in Mathe eine Einführung in LaTeX etc. , denn man hat ein Jahr Zeit eine wissenschaftliche Arbeit über etwas aus dem Themengebiet zu schreiben (ca. 10 - 20 Seiten), die dann benotet wird. Vorschläge unserer Lehrerin waren z.B. Kryptographie, Prüfziffern (ISBN), oder die Klassiker e i Pi etc. Da ich in Mathe schon etwas weiter bin, dachte ich an so Themen wie Komplexe Zahlen und Mandelbrotmenge, De Morgansche Gesetze etc. . Ich danke aber trotzdem für Ideen!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Auskunft.
Zahlentheorie ist eine sehr komplizierte mathematische Disziplin und benötigt
1. Algebra (Theorie der Gruppen (Operationen auf Zahlkörpern), Theorie der Ringe (ganzalgebraische Elemente in Zahlkörpern, Polynomringe), Theorie der Körper (Zahlkörper, Funktionenkörper, Körpererweiterungen), Theorie der algebraischen Gleichungen (Nullstellen von Polynomen), Theorie der Bewertungen (reelle, komplexe und p-adische Zahlen)) --> algebraische Zahlentheorie
2. Funktionentheorie = Theorie der komplexen Funktionen einer komplexen Variablen, analytische Funktionen, Differential- und Integralrechnung --> analytische Zahlentheorie
3. Geometrie und Topologie --> geometrische Zahlentheorie, Langlands Programm
4. Informatik --> algorithmische Zahlentheorie

Für Anfänger geeignet ist meiner Meinung nach die sogenannte "elementare Zahlentheorie", sie heißt elementar nicht weil sie einfach ist oder nur zu einfachen Resultaten führt, sondern weil sie ohne die oben genannten komplizierten Theorien auskommt und mit elementaren Methoden arbeitet.

Themenvorschlag:
A. Vollkommene Zahlen und Mersennsche Primzahlen
oder
B. Der chinesische Restsatz

Literatur : Helmut Hasse "Vorlesungen über Zahlentheorie" (Springer 1950) Erster Abschnitt. Grundlagen
§1. Primzerlegung
§2. Grösster gemeinsamer Teiler
§3. Vollkommene Zahlen, Mersennesche Primzahlen und Fermatsche Primzahlen
§4. Kongruenzen, Restklassen

Die §§ 1 und 2 sollten jedem Schüler in irgend einer Weise bekannt vorkommen.
§3 ist interessant, für Mersennesche Primzahlen unbedingt als moderne Ergänzung Theorie (Lucas-Lehmer-Test) und Praxis (GIMPS=Great Internet Mersenne Prime Search) berücksichtigen.
§4 ist grundlegend wichtig für die Zahlentheorie seit Gauß, schon allein der Teil 9 (Simultane Kongruenzen, chinesischer Restsatz) dieses Paragraphen hat für eine Seminararbeit m.E. genug zu bieten.

Auch sehr zu empfehlen: Armin Leutbecher "Zahlentheorie - Eine Einführung in die Algebra" (Springer 1996)
§3 Die Restklassenringe von
3.3 Der Chinesische Restsatz (!)
mphch02 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

Danke für die Infos!
Der chinesische Restsatz war auch schon bei mir ganz oben auf der Liste; mein Referat in ging auch über Rechnen mit modulo, nur hat sich dieses Thema ein Mitschüler bereits reserviert, d.h. das fällt für mich weg.

Glaubst Du, dass ich mir per Selbststudium ein übersichtliches Grundwissen zum Thema Gruppen, Ringe und Körper aneignen kann? Ohne angeben zu wollen (!) - ich habe nach der 9. Klasse zwei Jahre übersprungen und in der 10. das Matheabitur mit Höchstbewertung bestanden. Das sollte doch mit dem nötigen Maß an Ausdauer in angemessenem Rahmen machbar sein oder?
(Ich weiß, dass Hochschulmathematik nichts mit Schulmathematik zu tun hat.)

LG mphch02
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was sagst du zu Thema A? Ich finde die Entwicklung des Wissens von der Antike über Mersenne (so gut wie keine Ahnung) über Euler und Hasse (s.o.) bis heute (die größte bisher bekannte Primzahl wurde Anfang Dezember 2018 gefunden) so spannend wie kaum etwas anderes in der Mathematik. Immer noch sind Fragen offen : Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen? Wie kann man sie durch bessere Algorithmen schneller finden?? Gibt es ungerade vollkommene Zahlen???

Grundstudium Mathematik und Studium der Algebra dauert an der Universität 6 Semester, danach beginnt das Studium der Zahlentheorie (ich schließe von mir auf andere).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine wahre Fundgrube an Themen und Inhalten für jeden Mathematiker ist auch das Springer-Lehrbuch "Zahlen" von Ebbinghaus et al. (3. Auflage 1992)

Teil A. Natürliche, reelle, komplexe, p-adische Zahlen, Fundamentalsatz der (klassischen) Algebra
Teil B. Algebren, Hamiltonsche Quaternionen, Isomorphiesätze, Cayley-Zahlen, Kompositionsalgebren, Divisionsalgebren
Teil C. Non-Standard Analysis, Zahlen und Spiele, Mengenlehre und Mathematik

Speziell für Zahlentheoretiker ein Muss und Genuss (nicht elementar !)

David Hilbert, "Zahlbericht" : "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper" im Jahresbericht der DMV, 4. Band, 1894-95, Seite 181-546, Kapitel I-XXXVI https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN37721857X_0004

Für Zahlentheoretiker bestens geeignet, für andere Mathematiker unverdaulich und für normale Sterbliche abschreckend (auf hohem Niveau !)

Helmut Hasse, "Zahlbericht", Physica-Verlag, 3. Auflage 1970
Teil I : Klassenkörpertheorie
Teil Ia :Beweise zu Teil I
Teil II : Reziprozitätsgesetz

Zahlentheoretiker, die heute arbeiten, wissen alles, kennen die neuesten Arbeiten am Langlands-Programm und erfreuen sich an den perfectoid Spaces von Peter Scholze (auf höchstem Niveau, erreichbar nur nach jahrzenhntelanger Arbeit oder für Genies !)
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