Reihe einer rekursiven Folge

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reihe03 Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe einer rekursiven Folge
Hallo

Gegeben ist für alle natürlichen Zahlen n eine rekursiv definierte Folge durch





Zu zeigen ist nun, dass die Reihe konvergiert.


Ich habe derzeit 2 Ideen, bin aber nicht sicher, ob das hier angebracht bzw. zielführend ist:

1) Ich wollte versuchen die Folge explizit zu schreiben, das scheint hier aber nicht gerade einfach, oder irre ich mich ?

2) Ich dachte an das Quotientenkriterium, also an , wofür man z.B. noch zeigen müsste, dass gilt.


Ist bei meinen Ansätzen etwas Brauchbares dabei oder bin ich auf dem falschen Weg ?
Wie würdet ihr ansonsten vorgehen ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für die substitutierte Folge mit Start gilt offenbar , was mittelbar bedeutet. Also geht es hier um die Reihe . Deren Konvergenz dürfte nicht allzu schwierig nachweisbar sein.

Zitat:
Original von reihe03
2) Ich dachte an das Quotientenkriterium, also an ,

Auch möglich, und das sehr einfach: Es ist ja offenkundig für alle , woraus sofort folgt.

Zitat:
Original von reihe03
wofür man z.B. noch zeigen müsste, dass gilt.

Da unterliegst du wohl einem Denkfehler: Muss man nicht (s.o.). Augenzwinkern
 
 
reihe03 Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, dass mein Gedanke mittels Quotientenkriterium zielführend war.

Ich möchte deinen Weg über die Substitution aber nochmal eben weiter ausführen, um sicher zu gehen es auch zu verstehen:



Man substuiert hier also mit dem Ziel den Kehrwert und damit eine einfachere Folgenvorschrift zu betrachten.
Schreibt man sich ein paar Folgeglieder auf, dann sieht man in der Tat, dass es explizit auf hinausläuft.
Sollte ich das noch per Induktion beweisen oder folgt das automatisch aus den Zusammenhängen von geometrischen Folgen ?
Etwas stutzig macht mich da nur der konstante Summand 1, denn nur wäre ja eine geometrische Folge.

Die Konvergenz von würde wohl am schnellsten via Quotientenkriterium gehen, oder ?
Alternativ denke ich noch an die konvergente Majorante , die man hier zum Abschätzen für n>4 wählen könnte.
Diese Abschätzung sollte ich aber dann wohl auch noch sauber per Induktion beweisen, oder ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von reihe03
dass es explizit auf hinausläuft.
Sollte ich das noch per Induktion beweisen

Das ist eine Möglichkeit

Zitat:
Original von reihe03
oder folgt das automatisch aus den Zusammenhängen von geometrischen Folgen ?

Geht auch. Aber nicht , sondern ist eine geometrische Folge, was man aus



schließen kann. Man hätte natürlich auch gleich substituieren können und wäre so direkt auf gekommen. Augenzwinkern
reihe03 Auf diesen Beitrag antworten »

Schon ne feine Sache so ne Substitution. Big Laugh

Jetzt habe ich aber gerade irgendwie ein Brett vor dem Kopf, denn ich muss anschließend nochmal dasselbe für die rekursiv definierte Folge mit und machen.

Diesmal divergert die Reihe jedoch.
Das lässt sich mit deinem Weg über eine entsprechende Substitution auch bestens zeigen, da man am Ende dann nichts anderes als die harmonische Reihe erhält.

Ich verstehe nur gerade nicht, warum es mit der Quotientenregel ja ebenso zu führt. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die ersten paar Werte aufschreibst, müsstest du eigentlich schnell auf die Vermutung kommen, die sich leicht beweisen lässt.

Zitat:
Original von reihe03
Ich verstehe nur gerade nicht, warum es mit der Quotientenregel ja ebenso zu führt. verwirrt

Ja und? Das heißt doch noch nicht Konvergenz! Die Quotientenregel zur Konvergenz fordert die Existenz eines (von unabhängigen!!!) mit für alle . Ein solches findest du hier nicht.
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