Gewöhnliche Differentialgleichung

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yannik0103 Auf diesen Beitrag antworten »
Gewöhnliche Differentialgleichung
Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
Berechnen Sie alle Lösungen von .
Als Hinweis ist gegeben, dass alle Lösungen von R nach [-1,1] gehen.

Meine Ideen:
Man sieht relativ schnell, dass x(t)=1 und x(t)=sin(t) Lösungen sind, doch wie kann ich zeigen, dass das die einzigen sind oder noch weitere berechnen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt tatsächlich noch weitere Lösungen und dabei ist x(t) = 1 nur eine spezielle Lösung.
Daher solltest du diese Differentialgleichung allgemein mittels Trennung der Variablen lösen:






-------------------------

Die Lösung stellt sich bei einem bestimmten ein. Wie ist dieses zu berechnen?

mY+
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier gibt es einiges aufzuarbeiten. Zunächst muss man sich folgendes klarmachen:

für alle reellen mag eine Lösung von sein, aber es ist keine Lösung der DGL !

Die rechte DGL-Seite ist stets nichtnegativ, somit muss (!) jede Lösung monoton wachsend sein. Die in jeder Funktion auftretenden monoton fallenden Intervalle passen nicht zu dieser Forderung.

Wie sehen also mögliche Lösungsfunktionen aus? Neben den beiden Konstantfunktionen sowie ist hier nur folgende weitere Lösung möglich: Die Funktion kommt von her mit Konstantwert -1, daran schließt sich (natürlich stetig differenzierbar) ein Intervall mit monoton wachsenden an, an dessen Ende die Funktion in den Konstantwert 1 übergeht. Das ganze könnte man so parametrieren: Sei die Stelle, wo erstmals Funktionswert 1 erreicht wird, dann hat die zugehörige Lösungsfunktion die Gestalt

.

Diese Funktion ist tatsächlich stetig differenzierbar, auch an den Intervall-Übergangspunkten und :

.
yannik0103 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich verstehe deine Begründung, aber woher kommt auf einmal der cosinus? Wenn ich den in die DGL einsetze erhalte ich doch den sinus und nicht -sinus wie durch die Ableitung?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kosinusfunktion ist doch auch nichts weiter als eine argumentverschobene Sinusfunktion:

.

Insofern ist dein "aber" unangebracht.
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