Lap-Bel-Op

03.01.2019, 18:47

lucy21

Lap-Bel-Op

Hey alle zusammen. Wie kommt man auf die Formel von Laplace-Beltrami Operator? #
Ist hier nabla der nablavektor aus den Kartesischen Koordinaten?
verwirrt

03.01.2019, 19:04

Finn_

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Für eine glatte Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \nabla f \end{eqnarray*}$ ein Vektorfeld, davon kann man $\begin{eqnarray*} \operatorname{div}(\nabla f) \end{eqnarray*}$ bilden. Das Vektorfeld in lokalen Koordinaten wird in die Formel für die Divergenz in lokalen Koordinaten eingesetzt.

Was kommt bei dir dann raus?

03.01.2019, 19:11

lucy21

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Also $\begin{eqnarray*} \nabla f= \sum\limits_{i,j=1}^{n} g^{ij} \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial u_{i}} \frac{\partial F}{\partial u_{j}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das Einsetze in die Formel von div

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{det(g)} }\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial u_{i}} ( \sum\limits_{i,j=1}^{n} g^{ij} \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial u_{i}} \frac{\partial F}{\partial u_{j}} \sqrt{det(g)} ) \end{eqnarray*}$ verwirrt

03.01.2019, 19:18

Finn_

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Wir hatten schon geklärt, dass bei der Divergenz $\begin{eqnarray*} V^i \end{eqnarray*}$ stehen muss, da wurde der Index vergessen. Demnach muss die Komponente $\begin{eqnarray*} (\nabla f)^i = g^{ij}\partial_j\tilde f \end{eqnarray*}$ eingesetzt werden.

03.01.2019, 19:32

lucy21

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hmm ich verstehe nicht so richtig wie du drauf kommst verwirrt

Die Formel für den Gradienten ist doch richtig bei mir verwirrt

Ah meinst du etwa wir dürfen von unserem Gradienten nur die Koordiantenvektoren nehmen geschockt

Sowie wir es bei V(u)= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} V^i\frac{\partial F}{\partial u_{i}} \end{eqnarray*}$ gemacht haben.

Also nehmen wir nur die Koordiantenvektoren wegen dem i stimmts?

03.01.2019, 19:45

lucy21

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{det(g)} }\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial u_{i}} ( \sum\limits_{j=1}^{n} g^{ij} \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial u_{j}} \sqrt{det(g)} ) \end{eqnarray*}$

also dann so ? Man könnte dann die Summe rausziehen und hätte dann schon die Formel oder?

Könnten wir dazu mal ein Beispiel zusammen rechnen bitte ?
Wann erhält man bspweise den Laplace Operator den man aus dem Kordinatenraum kennt wieder ?
und wie sieht es bei anderen bsp aus

03.01.2019, 19:49

Finn_

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Setz doch für $\begin{eqnarray*} (g_{ij}) \end{eqnarray*}$ einfach die Einheitsmatrix ein. Das ist der Fall, wenn die Tangentialbasis an jedem Punkt orthonormal ist.

03.01.2019, 19:55

Finn_

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Ich finde den Torus noch am einfachsten, da benötigt man nur ein Koordinatensystem.

03.01.2019, 19:58

Lucy21

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OK sei gij=Einheitsmatrix dann ist die det(gij)=1
und es folgt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i,j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial u_{i}} ( \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial u_{j}} ) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i,j=1}^{n} \frac{\partial^2 \widetilde{f}}{\partial u_{i} \partial u_{j}} \end{eqnarray*}$

hmm der Laplace Operator im Koordinatenraum ist aber

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 \widetilde{f}}{\partial u_{i}^2 } \end{eqnarray*}$ verwirrt

03.01.2019, 20:21

Finn_

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Da hast du dich verrechnet. Anstelle von $\begin{eqnarray*} g^{ij}=\delta_{ij} \end{eqnarray*}$ hast du fälschlich $\begin{eqnarray*} g^{ij}=1 \end{eqnarray*}$ gesetzt (ohne es zu merken).

03.01.2019, 20:34

Lucy21

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Ups stimmt Hammer

Danke

Du meintest das andere Beispiel soll ich mit dem Torus machen ?
Die Parametrisierung vom Torus ist (siehe Bild)

gij rechne ich jz schnell.. Achso was sollen wir als Funktion f nehmen ? f(x)=x ?

03.01.2019, 20:56

lucy21

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Ich habe für gij= $\begin{eqnarray*} g_{ij}=\begin{pmatrix} (r cos(v)+R)^2 & 0 &\\ 0 & r^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt das ?

03.01.2019, 21:25

lucy21

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$\begin{eqnarray*} g^{ij}=\begin{pmatrix} \frac{1}{(r cos(v)+R)^2} & 0 &\\ 0 &\frac{1}{r^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \widetilde{f}=f(F(u,v))=Rcos(u)+rcos(v)cos(u) \end{eqnarray*}$ .

also $\begin{eqnarray*} \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial u} =-(rcos(v)+R)sin(u) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial v} =r^2cos(u)^2sin(v)^2 \end{eqnarray*}$ .

Also folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(rcos(v)+R)*r} +(\frac{\partial}{\partial u_{1}}(\frac{1}{(rcos(v)+R)^2}(rcos(v)+R)*r*(rcos(v)+R)^2sin(u)^2) +\frac{\partial}{\partial u_{2}} (\frac{1}{r^2} .... \end{eqnarray*}$

geht das wirklich in die richtige Richtung Big Laugh

03.01.2019, 23:06

Lucy21

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Ist irgendwie schwieriger als gedacht..
Ein anderes Bsp:

Sei f(x)=x und S wieder das Kätenoid also

$\begin{eqnarray*} F(u_{1},u_{2})=\begin{pmatrix} cosh(u_{1})cos(u_{2}) \\ cosh(u_{1})sin(u_{2}) \\ u_{1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für die 1 Fundamentalmatrix gilt dann:

$\begin{eqnarray*} g_{ij}=\begin{pmatrix} cosh(u_{1})^2 & 0 & \\ 0 & cosh(u_{1})^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

det(gij)=cosh(u1)^4

$\begin{eqnarray*} g^{ij}=\begin{pmatrix} \frac{1}{cosh(u_{1})^2} & 0 & \\ 0 & \frac{1}{cosh(u_{1})^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \widetilde{f}=f(F(u_{1},u_{2})) =cosh(u_{1})cos(u_{2}) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial u_{1}} =sinh(u_{1})cos(u_{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial u_{2}} =-cosh(u_{1})sin(u_{2}) \end{eqnarray*}$

also folgt für den Laplace Beltrami Operator:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cosh^2(u_{1})} \left(\frac{\partial }{\partial u_{1}}\left(\frac{1}{cosh^2(u_{1})} cosh^2(u_{1})sinh(u_{1})cos(u_{2}) \right)+\frac{\partial }{\partial u_{2}} \left(\frac{1}{cosh^2(u_{1})} cosh^2(u_{1})(-cosh(u_{1})sin(u_{2})) \right) \right) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{cosh^2(u_{1})} \left(\frac{\partial }{\partial u_{1}}\left(sinh(u_{1})cos(u_{2}) \right)+\frac{\partial }{\partial u_{2}} \left(-cosh(u_{1})sin(u_{2}) \right) \right) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{cosh^2(u_{1})} ( cosh(u_{1})cos(u_{2}) -cosh(u_{1})cos(u_{2}) ) \end{eqnarray*}$

=0 verwirrt

kann das wirklich sein verwirrt

ist das richtig?

04.01.2019, 06:36

Finn_

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Die folgende Eingabe kommt in eine Datei "m.mac" oder "m.txt".

code:

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10:
11:
12:

F: [
  R*cos(u)+r*cos(v)*cos(u),
  R*sin(u)+r*cos(v)*sin(u),
  r*sin(v)
];

J: jacobian(F,[u,v]);
g: factor(trigsimp(transpose(J).J));
detg: determinant(g);
ginv: invert(g);

Die wird geöffnet mit

code:
1:	maxima -b m.mac

Das CAS produziert die Ausgabe:

code:

1:
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17:
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19:
20:

(%i4) g:factor(trigsimp(transpose(J) . J))
                            [               2     ]
                            [ (r cos(v) + R)   0  ]
(%o4)                       [                     ]
                            [                   2 ]
                            [        0         r  ]
(%i5) detg:determinant(g)
                               2               2
(%o5)                         r  (r cos(v) + R)
(%i6) ginv:invert(g)
                            [        1            ]
                            [ ---------------  0  ]
                            [               2     ]
                            [ (r cos(v) + R)      ]
(%o6)                       [                     ]
                            [                  1  ]
                            [        0         -- ]
                            [                   2 ]
                            [                  r  ]

04.01.2019, 12:27

Lucy21

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Oh ok danke smile

das bsp habe ich nicht zu Ende gerechnet weil es iwie zu kompliziert wurde..:
Ich habe ein anderes bsp gemacht sieht das richtig aus ?

04.01.2019, 16:06

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

code:

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22:

F: [
  cosh(u1)*cos(u2),
  cosh(u1)*sin(u2),
  u1
]$

J: jacobian(F,[u1,u2]);
g: factor(trigsimp(transpose(J).J));
detg: determinant(g);
ginv: invert(g);

laplace(f) := 1/sqrt(detg)*
  (diff(ginv[1][1]*diff(f,u1)*sqrt(detg),u1)+
   diff(ginv[2][2]*diff(f,u2)*sqrt(detg),u2))$

f: cosh(u1)*cos(u2);

diff(ginv[1][1]*diff(f,u1)*sqrt(detg),u1);
diff(ginv[2][2]*diff(f,u2)*sqrt(detg),u2);

laplace(f);

code:

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38:

(%i2) F:[cosh(u1)*cos(u2),cosh(u1)*sin(u2),u1]
(%i3) J:jacobian(F,[u1,u2])
                   [ sinh(u1) cos(u2)  - cosh(u1) sin(u2) ]
                   [                                      ]
(%o3)              [ sinh(u1) sin(u2)   cosh(u1) cos(u2)  ]
                   [                                      ]
                   [        1                  0          ]
(%i4) g:factor(trigsimp(transpose(J) . J))
                           [     2                ]
                           [ cosh (u1)      0     ]
(%o4)                      [                      ]
                           [                2     ]
                           [     0      cosh (u1) ]
(%i5) detg:determinant(g)
                                       4
(%o5)                              cosh (u1)
(%i6) ginv:invert(g)
                           [     1                ]
                           [ ---------      0     ]
                           [     2                ]
                           [ cosh (u1)            ]
(%o6)                      [                      ]
                           [                1     ]
                           [     0      --------- ]
                           [                2     ]
                           [            cosh (u1) ]
(%i7) laplace(f):=(1/sqrt(detg))
              *(diff(ginv[1][1]*diff(f,u1)*sqrt(detg),u1)
               +diff(ginv[2][2]*diff(f,u2)*sqrt(detg),u2))
(%i8) f:cosh(u1)*cos(u2)
(%o8)                          cosh(u1) cos(u2)
(%i9) diff(ginv[1][1]*diff(f,u1)*sqrt(detg),u1)
(%o9)                          cosh(u1) cos(u2)
(%i10) diff(ginv[2][2]*diff(f,u2)*sqrt(detg),u2)
(%o10)                        - cosh(u1) cos(u2)
(%i11) laplace(f)
(%o11)                                 0

04.01.2019, 16:24

Finn_

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Bei diesem Beispiel ist speziell
$\begin{eqnarray*} g^{ii} = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \end{eqnarray*}$
was zur Vereinfachung
$\begin{eqnarray*} \Delta\tilde f = \frac{1}{\sqrt{\det g}}\left(\frac{\partial^2\tilde f}{\partial u^1\partial u^1}+\frac{\partial^2\tilde f}{\partial u^2\partial u^2}\right) \end{eqnarray*}$
führt.

04.01.2019, 16:48

Finn_

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Die Parametrisierung des Katenoids ordent einem infinitesimal feinem Gitter ein Koordinatennetz mit quadratischen Kacheln zu. Der metrische Tensor muss daher eine Skalarmatrix sein, d.h. von der Form
$\begin{eqnarray*} g = aE_2 = \begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix}, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ von der Stelle $\begin{eqnarray*} (u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ abhängig ist.

Dann ist $\begin{eqnarray*} a = \sqrt{\det g} \end{eqnarray*}$ .

04.01.2019, 18:07

Lucy21

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oh Super danke da kommt also tatsächlich 0 raus. Wie kann man das geometrisch intepretieren?

Mit welchem Programm berechnest du die Sachen Big Laugh

Gibt es ein Programm wo man mit der Riemannsche Metrik rechnen kann?

05.01.2019, 00:52

Lucy21

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Hey Finn kannst du mal schauen was beim Torus raus kommt ? Weiß leider nicht wie das geht und wollte mich kontrollieren. Wäre echt lieb Ups