Lap-Bel-Op

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lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »
Lap-Bel-Op
Hey alle zusammen. Wie kommt man auf die Formel von Laplace-Beltrami Operator? #
Ist hier nabla der nablavektor aus den Kartesischen Koordinaten?
verwirrt
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Für eine glatte Funktion ist ein Vektorfeld, davon kann man bilden. Das Vektorfeld in lokalen Koordinaten wird in die Formel für die Divergenz in lokalen Koordinaten eingesetzt.

Was kommt bei dir dann raus?
 
 
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Also

Wenn ich das Einsetze in die Formel von div


verwirrt
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten schon geklärt, dass bei der Divergenz stehen muss, da wurde der Index vergessen. Demnach muss die Komponente eingesetzt werden.
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ich verstehe nicht so richtig wie du drauf kommst verwirrt

Die Formel für den Gradienten ist doch richtig bei mir verwirrt

Ah meinst du etwa wir dürfen von unserem Gradienten nur die Koordiantenvektoren nehmen geschockt

Sowie wir es bei V(u)= gemacht haben.

Also nehmen wir nur die Koordiantenvektoren wegen dem i stimmts?
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »



also dann so ? Man könnte dann die Summe rausziehen und hätte dann schon die Formel oder?


Könnten wir dazu mal ein Beispiel zusammen rechnen bitte ?
Wann erhält man bspweise den Laplace Operator den man aus dem Kordinatenraum kennt wieder ?
und wie sieht es bei anderen bsp aus
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Setz doch für einfach die Einheitsmatrix ein. Das ist der Fall, wenn die Tangentialbasis an jedem Punkt orthonormal ist.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde den Torus noch am einfachsten, da benötigt man nur ein Koordinatensystem.
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

OK sei gij=Einheitsmatrix dann ist die det(gij)=1
und es folgt



=

hmm der Laplace Operator im Koordinatenraum ist aber

verwirrt
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du dich verrechnet. Anstelle von hast du fälschlich gesetzt (ohne es zu merken).
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups stimmt Hammer Danke smile

Du meintest das andere Beispiel soll ich mit dem Torus machen ?
Die Parametrisierung vom Torus ist (siehe Bild)

gij rechne ich jz schnell.. Achso was sollen wir als Funktion f nehmen ? f(x)=x ?
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe für gij=

stimmt das ?
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »




Außerdem ist .

also
und .


Also folgt




geht das wirklich in die richtige Richtung Big Laugh
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist irgendwie schwieriger als gedacht..
Ein anderes Bsp:

Sei f(x)=x und S wieder das Kätenoid also




Für die 1 Fundamentalmatrix gilt dann:




det(gij)=cosh(u1)^4





und



also folgt für den Laplace Beltrami Operator:




=

=

=0 verwirrt kann das wirklich sein verwirrt
ist das richtig?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die folgende Eingabe kommt in eine Datei "m.mac" oder "m.txt".
code:
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11:
12:
F: [
  R*cos(u)+r*cos(v)*cos(u),
  R*sin(u)+r*cos(v)*sin(u),
  r*sin(v)
];

J: jacobian(F,[u,v]);
g: factor(trigsimp(transpose(J).J));
detg: determinant(g);
ginv: invert(g);


Die wird geöffnet mit
code:
1:
maxima -b m.mac

Das CAS produziert die Ausgabe:
code:
1:
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20:
(%i4) g:factor(trigsimp(transpose(J) . J))
                            [               2     ]
                            [ (r cos(v) + R)   0  ]
(%o4)                       [                     ]
                            [                   2 ]
                            [        0         r  ]
(%i5) detg:determinant(g)
                               2               2
(%o5)                         r  (r cos(v) + R)
(%i6) ginv:invert(g)
                            [        1            ]
                            [ ---------------  0  ]
                            [               2     ]
                            [ (r cos(v) + R)      ]
(%o6)                       [                     ]
                            [                  1  ]
                            [        0         -- ]
                            [                   2 ]
                            [                  r  ]
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ok danke smile das bsp habe ich nicht zu Ende gerechnet weil es iwie zu kompliziert wurde..:
Ich habe ein anderes bsp gemacht sieht das richtig aus ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

code:
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22:
F: [
  cosh(u1)*cos(u2),
  cosh(u1)*sin(u2),
  u1
]$

J: jacobian(F,[u1,u2]);
g: factor(trigsimp(transpose(J).J));
detg: determinant(g);
ginv: invert(g);

laplace(f) := 1/sqrt(detg)*
  (diff(ginv[1][1]*diff(f,u1)*sqrt(detg),u1)+
   diff(ginv[2][2]*diff(f,u2)*sqrt(detg),u2))$

f: cosh(u1)*cos(u2);

diff(ginv[1][1]*diff(f,u1)*sqrt(detg),u1);
diff(ginv[2][2]*diff(f,u2)*sqrt(detg),u2);

laplace(f);


code:
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38:
(%i2) F:[cosh(u1)*cos(u2),cosh(u1)*sin(u2),u1]
(%i3) J:jacobian(F,[u1,u2])
                   [ sinh(u1) cos(u2)  - cosh(u1) sin(u2) ]
                   [                                      ]
(%o3)              [ sinh(u1) sin(u2)   cosh(u1) cos(u2)  ]
                   [                                      ]
                   [        1                  0          ]
(%i4) g:factor(trigsimp(transpose(J) . J))
                           [     2                ]
                           [ cosh (u1)      0     ]
(%o4)                      [                      ]
                           [                2     ]
                           [     0      cosh (u1) ]
(%i5) detg:determinant(g)
                                       4
(%o5)                              cosh (u1)
(%i6) ginv:invert(g)
                           [     1                ]
                           [ ---------      0     ]
                           [     2                ]
                           [ cosh (u1)            ]
(%o6)                      [                      ]
                           [                1     ]
                           [     0      --------- ]
                           [                2     ]
                           [            cosh (u1) ]
(%i7) laplace(f):=(1/sqrt(detg))
              *(diff(ginv[1][1]*diff(f,u1)*sqrt(detg),u1)
               +diff(ginv[2][2]*diff(f,u2)*sqrt(detg),u2))
(%i8) f:cosh(u1)*cos(u2)
(%o8)                          cosh(u1) cos(u2)
(%i9) diff(ginv[1][1]*diff(f,u1)*sqrt(detg),u1)
(%o9)                          cosh(u1) cos(u2)
(%i10) diff(ginv[2][2]*diff(f,u2)*sqrt(detg),u2)
(%o10)                        - cosh(u1) cos(u2)
(%i11) laplace(f)
(%o11)                                 0
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Bei diesem Beispiel ist speziell

was zur Vereinfachung

führt.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Parametrisierung des Katenoids ordent einem infinitesimal feinem Gitter ein Koordinatennetz mit quadratischen Kacheln zu. Der metrische Tensor muss daher eine Skalarmatrix sein, d.h. von der Form

wobei von der Stelle abhängig ist.

Dann ist .
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

oh Super danke da kommt also tatsächlich 0 raus. Wie kann man das geometrisch intepretieren?

Mit welchem Programm berechnest du die Sachen Big Laugh
Gibt es ein Programm wo man mit der Riemannsche Metrik rechnen kann?
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Finn kannst du mal schauen was beim Torus raus kommt ? Weiß leider nicht wie das geht und wollte mich kontrollieren. Wäre echt lieb Ups
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Das Programm heißt Maxima. Eine kurze Anleitung gibt es hier.
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