Faktorzerlegung Polynom

04.01.2019, 12:00

joern

Faktorzerlegung Polynom

Hallo,

ich hoffe jemand kann es mir erklären:
(Die Zahl hinter dem X ist der Exponent Augenzwinkern

)

Gleichung:
6x5 + 27x4 - 12x3 -108x2 +48x + 48 = 0

Durch Faktorzerlegung soll man auf
(6x+3) (x2 + 2x -4 )hoch2 = 0

Wie komme ich auf diese Faktorzerlegung ?

Liebe Grüße

04.01.2019, 12:06

G04019

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RE: Faktorzerlegung Polynom
Polynomdivision, 1. Nullstelle raten (muss ganzzahliger Teiler der Konstanten 48 sein)

04.01.2019, 12:18

Leopold

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Da alle Koeffizienten Vielfache von 3 sind, muß eine ganzzahlige Nullstelle des Polynoms sogar Teiler von 16 sein. Kein Teiler von 16 ist aber Nullstelle. Die Gleichung besitzt daher keine ganzzahligen Lösungen. Aufgrund der zu erzielenden Faktorisierung erkennt man, daß -0,5 eine Lösung ist.

04.01.2019, 12:37

HAL 9000

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Man kann auch erstmal die ganze Gleichung durch den ggT aller Koeffizienten teilen, der ist hier gleich 3, damit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} p(x)=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p(x):=2x^5 + 9x^4 - 4x^3 - 36x^2 + 16x + 16 \end{eqnarray*}$ .

Den mehrfachen Nullstellen eines Polynoms $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ kann man so auf die Spur kommen:

Sie sind nämlich auch Nullstellen der Ableitung $\begin{eqnarray*} p'(x) \end{eqnarray*}$ . Bildet man dann $\begin{eqnarray*} q(x):=ggT(p(x),p'(x)) \end{eqnarray*}$ , so enthält dieser $\begin{eqnarray*} ggT \end{eqnarray*}$ jede Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der Vielfachheit $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ in der Vielfachheit $\begin{eqnarray*} v-1 \end{eqnarray*}$ . In der Konsequenz hat man dann in $\begin{eqnarray*} \frac{p(x)}{q(x)} \end{eqnarray*}$ nur noch einfache Nullstellen, darunter auch alle die von $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ , aber wie gesagt nur einfach.

Hier bedeutet das mit $\begin{eqnarray*} p'(x)= 10x^4 + 36x^3 - 12x^2 - 72x + 16 \end{eqnarray*}$ nach mittellanger Rechnung tatsächlich $\begin{eqnarray*} q(x)=ggT(p(x),p'(x)) = x^2+2x-4 \end{eqnarray*}$ Die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ sind beide einfach, also auch nochmals in $\begin{eqnarray*} \frac{p(x)}{q(x)} \end{eqnarray*}$ enthalten. Berechnet man somit per Polynomdivision $\begin{eqnarray*} \frac{p(x)}{(q(x))^2} = 2x+1 \end{eqnarray*}$ , so bleibt tatsächlich nicht mehr viel übrig. Augenzwinkern

04.01.2019, 20:59

joern

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Vermutlich bin ich zu dämlich sorry:

Wenn ich die Faktoren aus der Gleichung kenne, muß ich bei (6x+3) nach null auflösen und bei
(x² + 2x -4)² die Diskriminante ausrechnen und bekomme dann die 3 Lösungen.

Aber wie komme ich von der Gleichung oben auf die beiden Faktoren in den Klammern ?

(Lösung durch Substitution und Polynomdivision kommt erst in den nöchsten Kapiteln dran.)

(Das ist aus einem Mathe-Vorkurs Heft zur Vorbereitung auf Abendfortildungen/Studium etc.)

05.01.2019, 00:30

mYthos

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Da wird dir leider nichts anderes übrig bleiben, als zu warten, bis du diese Rechnung verstehen lernst.
Diese (Pol.Division) ist übrigens Algebra der Unterstufe. Ausser Testen führt wohl kein anderer Weg daran vorbei.

Den Nullstellen kannst du dich eventuell mittels Erstellung eines Graphen annähern ...

Nebenbei, schreibe bitte NICHT x5, x4, usw., sondern wenigstens x^5, x^4, .., wenn du schon den Formeleditor nicht verwenden willst (die ^-Taste ist leicht zu finden)

Freilich wäre $\begin{eqnarray*} 6x^5+27x^4-12x^3 .. \end{eqnarray*}$ noch schöner.

code:
1:	[latex]6x^5+27x^4-12x^3 ..[/latex]

mY+

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