Grenzwert im Hilbertraum

04.01.2019, 19:59

forbin

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Grenzwert im Hilbertraum

Hi!
[attach]48679[/attach]

Naja, da steht ja was man machen muss. Aber ich bin einfach zu dumm.

(a)
N wie Kern bezeichnet also den kern von dem Operator. I ist die Identität, das wisst ihr ja alles besser als ich.
Also:
Ich weiß ja nun nichts über T außer dass es ein linearer Operator ist.
Wie bitte soll ich dann was über den Kern sagen und über T* und so bitte ich verstehe das einfach nicht.
Natürlich ist das auch eine von den sehr speziellen Aufgaben meint unser prof also so gut wie nicht lösbar so nach dem motto aber ich würde es gerne probieren.
Ideen?

04.01.2019, 22:13

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RE: Grenzwert im Hilbertraum
Das ist echt speziell Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} x\in N(I_{\cal{H}}-T) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x=Tx \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \|x\|^2=<x,x>=<Tx,x>=<x,T^*x> \end{eqnarray*}$ . Die rechte Seite kann man jetzt mit Hilfe der Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung und der Voraussetzung an T durch $\begin{eqnarray*} \|x\|^2 \end{eqnarray*}$ abschätzen. Also ist die Abschätzung in Wirklichkeit eine Gleichheit. Wann gilt in CSU Gleichheit?

Nur mal aus Neugier: Wer hält die Vorlesung und an welcher Uni? Gibt's die online? Mir gefallen die Aufgaben Big Laugh

Big Laugh

05.01.2019, 13:49

forbin

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Ohwei

traurig

Also, Gleichheit gilt bei linearer Abhängigkeit.
Und die Abschätzung?
Ich hätte ja jetzt gesagt: $\begin{eqnarray*} <x,T*x>\leq ||x|| \cdot ||T*x|| \end{eqnarray*}$ , aber das gilt doch nur im reelen?

Edit
$\begin{eqnarray*} |<x,T^*x>|\leq ||x||\cdot||T^*|| = ||x||\cdot||T||\leq ||x|| \end{eqnarray*}$
Ich finde jetzt nur ehrlich gesagt in meiner Mitschrift nichts über ||T*||. Ich habe jetzt zwar hier die Gleichheit angesetzt und ja, geraten, aber ich wollte nicht dass es heißt, ich bescäftige mich nicht mit dem zeug.

Nochmal edit:
Doch, habe ich gefunden, stimmt so.
Allerdings ist mein Weg sicher falsch, denn ich weiß ja: $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb H \end{eqnarray*}$ , es gilt ja für alle x. also will ich sicherlich keine Abschätzung haben wo auf der rechten seite ein ||x|| steht.

05.01.2019, 16:00

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Zitat:

sicherlich keine Abschätzung haben wo auf der rechten seite ein $\begin{eqnarray*} ||x|| \end{eqnarray*}$ steht.

Warum nicht? Ich hatte dir doch schon gesagt, dass du die rechte Seite durch $\begin{eqnarray*} \|x\|^2 \end{eqnarray*}$ abschätzen kannst:
$\begin{eqnarray*} \|x\|^2=<x,x>=<Tx,x>=<x,T^*x>\,\, \leq \|x\|\, \|T^*x\|\leq \|x\|\,\|T^*\|\,\|x\|=\|T\|\,\|x\|^2\leq \|x\|^2 \end{eqnarray*}$

05.01.2019, 16:03

forbin

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Ok. Das bringt mich ja zu:
||x||^2 kleiergleich ||x||^2 <=> ||x|| = 0 oder 1.

Das hatte ich eben, aber ich dachte dann gilt es ja nicht für alle x.
Sorry.

05.01.2019, 16:05

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Zitat:

Original von forbin
Ok. Das bringt mich ja zu:
||x||^2 kleiergleich ||x||

Wie kommst du denn jetzt darauf verwirrt

verwirrt

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05.01.2019, 16:15

forbin

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Hoppla. Habe oben das Quadrat vergessen. Aber nun verbessert

05.01.2019, 16:22

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Zitat:

Also, Gleichheit gilt bei linearer Abhängigkeit.

Mach was daraus

05.01.2019, 18:32

forbin

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Zitat:

Original von URL

Zitat:

Original von forbin
Ok. Das bringt mich ja zu:
||x||^2 kleiergleich ||x||

Wie kommst du denn jetzt darauf verwirrt

verwirrt

Moment mal:
$\begin{eqnarray*} ||x||^2\leq ||x||^2 \end{eqnarray*}$ stimmt doch für alle x?
Bitte entschuldige, aber was hab ich denn nun gewonnen?

05.01.2019, 18:40

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Du hast gewonnen, dass in dem Bandwurm von 16:00 Uhr die linke Seite gleich der rechten Seite ist. Also muss überall das Gleichheitszeichen stehen, insbesondere bei der Abschätzung mittels der CSU.

05.01.2019, 18:47

forbin

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Natürlich

Forum Kloppe

Ich brauche ein bisschen frische Luft und melde mich gleich wieder zu Wort.

05.01.2019, 18:56

forbin

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Also, und aus der linearen Abhängigkeit von T und T* kann ich folgern, dass N(I-T) = N(I-T*) ist?

05.01.2019, 18:59

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Ich sehe nicht, warum T und T* linear abhängig sein sollen. Wann gilt in der CSU Gleichheit?

06.01.2019, 00:05

forbin

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Zitat:

Original von URL
Ich sehe nicht, warum T und T* linear abhängig sein sollen. Wann gilt in der CSU Gleichheit?

Achja, x und Tx bzw. x und T*x sind linear abhängig.

06.01.2019, 03:19

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x und T*x sind linear abhängig, also gibt es eine Zahl $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T^*x=\mu x \end{eqnarray*}$ . Jetzt wirft man nochmal einen Blick auf den Bandwurm $\begin{eqnarray*} \|x\|^2=<x,x>=<Tx,x>=<x,T^*x>=<x,\mu x>=\ldots \end{eqnarray*}$ und bekommt schließlich $\begin{eqnarray*} \mu=1 \end{eqnarray*}$ und das bedeutet $\begin{eqnarray*} x\in N(I_{\cal{H}}-T^*) \end{eqnarray*}$ .

06.01.2019, 09:44

forbin

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Super, dsss hab ich sogar verstanden.
Aber die b) natürlich nicht.
Also ich muss den Abschluss von ? Bestimmen und zeigen dass es gleich dem Kern von ? Orthogonal ist. Das ich da nicht selbst drauf gekommen bin Big Laugh

Big Laugh

Sorry für de vielen Fragezeichen ich weiß nichtmal was da steht

06.01.2019, 10:43

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Jetzt mach mal halblang. Zumindest die rechte Seite ohne das $\begin{eqnarray*} \perp \end{eqnarray*}$ sollte dir etwas sagen, über diesen Kern reden wir schließlich die ganze Zeit. Links steht der Abschluss des Bildes von $\begin{eqnarray*} I_{\cal{H}}-T \end{eqnarray*}$ .

Bevor wir damit anfangen: Du bist noch nicht mit a) fertig. Was haben wir denn bisher gezeigt und was ist zu zeigen?

06.01.2019, 17:12

forbin

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Zitat:

Original von URL
Bevor wir damit anfangen: Du bist noch nicht mit a) fertig. Was haben wir denn bisher gezeigt und was ist zu zeigen?

Wir haben gezeigt: $\begin{eqnarray*} x\in N(I-T^*) \end{eqnarray*}$ .
Ich kann analog folgern:
$\begin{eqnarray*} ||x||^2 = <x,x> = <x,Tx> = <T^*x,x> \end{eqnarray*}$
Also gilt:
$\begin{eqnarray*} ||x||^2 = <Tx,x> = <\lambda x,x> = \lambda<x,x> => \lambda=1 \end{eqnarray*}$
Und damit: $\begin{eqnarray*} x\in N(I-T) \end{eqnarray*}$

06.01.2019, 17:17

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Freude

06.01.2019, 17:26

forbin

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Puh...schwere Geburt das ganze.

Damit kommen wir zur (b).
(Hab ich mich eigentlich schon bedankt dass du deinen Sonntag abend hier verbringst?)

Also dann ist doch:
$\begin{eqnarray*} x\in N(I-T)^{\perp} \Rightarrow <x,y> = 0 \forall y\in N(I-T) \end{eqnarray*}$ .
Naja, das ist ja mehr als trivial Big Laugh

Big Laugh

also habe ich hier nichts gemacht.

Hm... unglücklich

unglücklich

06.01.2019, 17:46

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Ich gehe davon aus, ihr habt in der Vorlesung ein paar allgemeine Aussagen für einen Operator $\begin{eqnarray*} A\in\cal{L}(\cal{H}) \end{eqnarray*}$ bewiesen, die etwa so aussehen $\begin{eqnarray*} \overline{A(\cal{H})}=N(A^*)^{\perp} \end{eqnarray*}$ . Die kann man hier direkt verwerten.

06.01.2019, 18:04

forbin

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Ok, damit ist also zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} (I-T)^* = (I-T) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (I-T)^* = (-T)^* + I^* = \overline{(-1)}T^* + I^* = I^* -T^* = \end{eqnarray*}$
Jetzt wäre es natürlich schön wenn ich T* = T folgern könnte, aber das wäre ja zu einfach unglücklich

unglücklich

06.01.2019, 18:09

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Wie kommst du denn darauf, $\begin{eqnarray*} (I-T)^* = (I-T) \end{eqnarray*}$ zeigen zu müssen? verwirrt

verwirrt

Das stimmt im Allgemeinen überhaupt nicht.

06.01.2019, 18:16

forbin

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Aber es ist doch nach deinem Hinweis $\begin{eqnarray*} \overline{(I-T)(\mathbb H)} = N((I-T)^*)^{\perp} \end{eqnarray*}$

Wenn ich doch nun zeigen könnte: $\begin{eqnarray*} (I-T)^* = (I-T) \end{eqnarray*}$ , dann erhalte ich doch die Behauptung?

06.01.2019, 18:19

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Nur leider kannst du das nicht zeigen, weil es im Allgemeinen falsch ist. Aber du könntest versuchen, aus den Mühen der Aufgabe a) Nutzen zu ziehen.

06.01.2019, 18:39

forbin

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Also $\begin{eqnarray*} \overline{(I-T)(H)} = N((I-T)^*)^\perp = N(I-T)^\perp \end{eqnarray*}$

06.01.2019, 18:46

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Freude

Warum macht man das Ganze? Ist V ein abgeschlossener Unterraum von H, dann lehrt die Theorie, dass $\begin{eqnarray*} {\cal H} = V \oplus V^{\perp} \end{eqnarray*}$ gilt. Zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in \cal{H} \end{eqnarray*}$ gibt es also genau ein $\begin{eqnarray*} v\in V, \, w\in V^{\perp} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=v+w \end{eqnarray*}$ . v ist die orthogonale Projektion von x auf V.
Ein Operator $\begin{eqnarray*} S\in{\cal L}({\cal H}) \end{eqnarray*}$ ist genau dann die Orthogonalprojektion auf V, wenn $\begin{eqnarray*} S|_V=id \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S|_{V^{\perp}}=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Es ist also sinnvoll, sich neben V auch $\begin{eqnarray*} V^{\perp} \end{eqnarray*}$ anzuschauen.
Aufgaben a) und b) dienen nach meinem Verständnis nur dazu, hier den Raum $\begin{eqnarray*} V^{\perp}=N(I-T)^{\perp} \end{eqnarray*}$ so zu beschreiben, dass man im Teil c) weiter kommt.

06.01.2019, 18:48

forbin

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Aber damit ist b nicht fertig?

06.01.2019, 18:53

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Doch, b) ist erledigt. Die zweite Behauptung in c) ist leicht zu sehen. Für die erste habe ich nur einen sehr technischen Beweis unglücklich

unglücklich

06.01.2019, 19:00

forbin

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Wohin muss ich denn gucken für die zweite Behauptung? Für mich ist das alles nur Dschungel

06.01.2019, 19:06

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac 1 n \sum_{j=0}^{n-1} T^jx=x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in N(I_{\cal H}-T) \end{eqnarray*}$ ist einfach.

06.01.2019, 19:11

forbin

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Sei $\begin{eqnarray*} x\in N(I-T) \Rightarrow Tx = x \Rightarrow T^j x = x\Rightarrow \frac{1}{n}\sum\limits_{j=0}^{n-1}T^j x = \frac{1}{n}\sum\limits_{j=0}^{n-1}x = \frac{1}{n}xn = x \rightarrow x, n\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$

06.01.2019, 19:15

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Ausgezeichnet Freude

Freude

Jetzt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac 1 n \sum_{j=0}^{n-1} T^jx=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in\overline{(I_{\cal H}-T)({\cal H})} \end{eqnarray*}$
Fang mal mit $\begin{eqnarray*} x\in(I_{\cal H}-T)({\cal H}) \end{eqnarray*}$ an.

06.01.2019, 19:23

forbin

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Ich wollte dir eigentlich zu den vollen 4.000 gratulieren, jetzt hab' ich sie doch versäumt Big Laugh

Big Laugh

Gleich setze ich mich weiter daran, jetzt steht nämlich erst eine Zugfahrt an... die eignet sich dafür ideal Big Laugh

Big Laugh

Es kann also sein dass ich es heute nicht mehr schaffe hier zu antworten, aber das macht auch nichts, die Abgabe selbst war ja, ich wollte es aber wirklich lernen und ich möchte nochmal sagen wie dankbar ich dir bin, dass du dir soviel Zeit genommen hast!!!

06.01.2019, 19:36

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Danke, hab es selber fast versäumt Big Laugh

Big Laugh

Ich gebe dir noch ein paar Dinge für die Zugfahrt mit:
i) $\begin{eqnarray*} x=(I-T)z \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} T(I-T)=(I-T)T \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} (I-T)(\sum_{j=0}^{n-1}T^j) = I-T^n \end{eqnarray*}$

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