Induktionsprinzip

05.01.2019, 14:55

Pippen

Induktionsprinzip

Ist das Induktionsprinzip, wie es zB als 5. Axiom der natürlichen Zahlen gilt, in der Mengenlehre oder Logik beweisbar? MaW: Wenn man eine Struktur wie IN hat, die einer Kette gleicht, kann man daraus das Induktionsaxiom für diese Struktur beweisen (natürlich ohne Nutzung desselben) oder muss man es einfach voraus setzen? Falls man es beweisen kann, würde mich interessieren, wie da die grobe Beweisidee aussieht.

05.01.2019, 18:28

Elvis

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Die Frage verstehe ich nicht, aber hier ist eine Antwort auf eine sinnvolle Frage der Mengenlehre: https://de.wikipedia.org/wiki/Transfinite_Induktion

05.01.2019, 18:44

zweiundvierzig

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RE: Induktionsprinzip
In ZFC lässt sich die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen aus dem Unendlichkeitsaxiom zusammen mit dem Separationsschema ableiten. Man kann dann nachweisen, dass diese Menge induktiv ist (sogar die kleinste Induktive Menge).

Nebenbei ist das Induktionsprinzip kein einzelnes Axiom, sondern auch ein Axiomenschema.

05.01.2019, 18:57

Pippen

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RE: Induktionsprinzip

Zitat:

Original von zweiundvierzig
In ZFC lässt sich die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen aus dem Unendlichkeitsaxiom zusammen mit dem Separationsschema ableiten. Man kann dann nachweisen, dass diese Menge induktiv ist.

Aha, und aus der induktiven Menge kann man dann das Induktionsprinzip ableiten. Denn eine Menge ist induktiv, wenn sie die leere Menge und mit jedem Element deren Nachfolgemenge enthält, so dass wenn man eine Eigenschaft E für die leere Menge und für ein beliebiges Element auch für deren Nachfolgemenge beweist, man eine induktive Menge beweisen würde und IN ist die kleinste solcher Mengen, also hat IN auch E. Kommt das grob so hin?

05.01.2019, 19:16

zweiundvierzig

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RE: Induktionsprinzip
Deine Anmerkungen machen tlw sprachlich keinen Sinn (Man kann keine z.B. keine "Menge beweisen").

Das Unendlichkeitsaxiom liefert die Existenz einer Induktiven Menge $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Dann existiert die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N := \{y \in x | \forall z(\text{istInduktiv}(z) \rightarrow y \in z)\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \text{istInduktiv}(z) \end{eqnarray*}$ besagt, dass eine Menge $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ induktiv ist.

Man kann dann zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ die kleinste Induktive Menge ist. Daraus folgt das Induktionsprinzip für $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

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