Basis von ker f bestimmen

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yeees Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von ker f bestimmen
Hallo, bin mir bei folgender Aufgabe unsicher:

Sei

Sei die lineare Abbildung induziert durch A.
Bestimmen Sie eine Basis von ker f.

Nun meine Fragen:
1) müsste es nicht in der Aufgabenstellung L(A) heißen, da ja eine Matrix auf eine K-lineare Abbildung abgebildet wird?
2) Ist es richtig, dass ich folgende Gleichung lösen muss:



Das habe ich mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren gemacht und komme auf folgende erweiterte Matrix:



Sei

Dann


Und an dieser Stelle bin ich mir unsicher. Darf ich jetzt für t irgendeine Zahl einsetzen? Wenn ja, wie viele Vektoren muss ich dann für die Basis ausrechnen? Reichen 2?

Mfg yeees
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von ker f bestimmen
Die Gleichung ist richtig und der Gauß-Algorithmus auch soweit korrekt durchgeführt. Die Nullspalte in der (erweiterten) Koeffizientenmatrix ist in diesem Fall aber überflüssig, da alle Zeilenoperationen dort keine Veränderung bewirken.

Wieviele Vektoren Du zur Angabe der Basis brauchst, hängt von der Dimension des Kerns ab. Über diese macht der Rangsatz eine Aussage, die Du nun - da die Matrix A in Zeilenstufenform ist - ablesen kannst.

Ich persönlich hätte an dieser Stelle bevorzugt das Gaußverfahren noch weitergeführt, da sich in Zeile 1 und 2 auch der 2. bzw. 3. Koeffizient auf Null setzen lassen. Dein Ergebnis ist aber wiederum richtig, nur die Einführung von t war nutzlos.

Du mußt eigentlich nur den Lösungsvektor nochmal komplett hinschreiben, wobei x4 frei ist und x1, x2, x3 abhängig von x4. x4 übernimmt dann quasi die Rolle eines Parameters, weshalb man auch bisweilen die Schreibweise

sieht.
yeees Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für Ihre Antwort.

Der Rangsatz lautet:



Wir haben aber in der Vorlesung auch folgende Formel aufgestellt, die auch funktionieren müsste oder?



Das heißt also es genügt, wenn ich einen Vektor für die Basis angebe.

Der Lösungsvektor lautet:



Ich hätte gedacht, ich muss noch einen speziellen (also Zahlen eingesetzt) Vektor angeben, da es ja heißt: "Bestimmen Sie EINE Basis von kerf". Hab ich das falsch verstanden?

Mfg yeees
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die ganze Rechnung mit dem Rang hättest du dir sparen können. Schon in deinem ersten Beitrag hast du ja den Kern bestimmt. Es ist der Unterraum



Um eine gefälligere Darstellung zu finden, habe ich statt wie du in deinem ersten Beitrag gewählt. Eine Basis von kann jetzt unmittelbar abgelesen werden. Du mußt jetzt einen konkreten Vektor angeben, so daß alle Elemente von dessen Vielfache sind. Das wird daher obsolet.
yeees Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht genau, wo ich den Kern bereits bestimmt habe. Meinen Sie mit dieser Rechnung?





Das heißt der Vektor



stellt eine Basis von ker f dar?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Leopold hat es zutreffend präzisiert:
Der Kern von A ist der Unterraum U, eine Basis davon ist der Vektor v.
 
 
yeees Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke das hab ich nun soweit.

Jetzt muss ich noch bestimmen, für welche gilt

Ich habe das ganze wieder mit Gauß gelöst. Allerdings habe ich dann gelesen, dass man irgendwie auch die homogene und inhomogene Lösung addieren kann. Jetzt bin ich verunsichert. Kann mir das bitte nochmal wer erklären?

Meine Lösung mit Gauß lautet:



Mfg yeees
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