Stetige Funktion mit kompaktem Träger -> gleichgradig stetig

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gdas Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Funktion mit kompaktem Träger -> gleichgradig stetig
Sei eine stetige Funktion mit kompakten Träger von nach : .

Ist dann die Funktion wobei gleichgradig stetig?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du meinst wahrscheinlich, dass die Funktionenfamilie gleichgradig stetig ist?

Falls ja, so ist dies der Fall. Es liegt daran, dass stetige Funktionen mit kompaktem Träger gleichmäßig stetig sind.
Du kannst dich ja mal am Beweis versuchen, indem du diesen Hinweis benutzt.
 
 
gdas Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich meine wirklich die Abbildung als solches, zumindest steht es so in der Angabe
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache ist die, dass gleichgradige Stetigkeit für Familien von Funktionen definiert ist, nicht für eine einzelne Funktion. Natürlich ist eine Familie auch nichts anderes als eine Funktion, es besteht aber zumindest hier meines Erachtens nach verwechslungspotential, weil das, falls es so gemeint ist, nicht üblich ist, so zu formulieren.

Man kann natürlich eine Familie mit einem einzelnen Element betrachten. Dann ist aber gleichgradige Stetigkeit dieser Familie das gleiche, wie die Stetigkeit dieser einen Funktion.

Es wäre also einfach die Funktion, die du hingeschrieben hast, auf Stetigkeit zu überprüfen.
Es stellt sich die Frage, warum man das dann nicht gleich so geschrieben hat und ob nicht doch eher ein Fehler in der Aufgabenstellung ist.

Du kannst nun entweder Funktion mit Familie gleichsetzen, dann ist der Ansatz genauso wie oben oder du kannst einfach die Abbildung auf Stetigkeit untersuchen (die ebenfalls gegeben ist) und ignorieren, dass das Wort "gleichgradig" da dann einfach nicht hinpasst.
gdas Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, ich bringe die ganzen Stetigkeiten durcheinander. Ich meinte gleichmäßig stetig. Aber das müsste doch auch aus f stetig+kompakter Träger -> f gleichmäßig stetig folgen oder?

Wenn also gleichmäßig stetig ist, dann . (Welche Norm brauche ich da bei s-t?)




Kann das so stimmen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei brauchst du irgendeine Norm auf , da alle äquivalent sind, ist egal, welche du nimmst.

Die Abbildung, die du betrachtest hat Werte in . Auf diesem Raum wird gewöhnlich die Supremumsnorm verwendet. Du solltest also folgendes zeigen:

.

Das folgt in der Tat direkt aus der gleichmäßigen Stetigkeit von .
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