Integration von sin^n(x)

06.01.2019, 15:14

Mborn

Integration von sin^n(x)

Meine Frage:
Gibt es ein allgemeines Rezept um sin^n(x) zu integrieren?
Wenn ich Aufgaben wie z.B Integriere 'cos^2(x)*sin^2(x)' habe ist der rechenaufwand zu große.

Meine Ideen:
Leider keine Ansätze

06.01.2019, 15:31

HAL 9000

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Man kann es iterativ angehen: Es kennzeichne $\begin{eqnarray*} F_n(x) = \int \sin^n(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ eine mögliche Stammfunktion. Für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann durch partielle Integration sowie $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)=1-\sin^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_n(x) = \int \sin(x)\cdot \sin^{n-1}(x) ~ \dd x = -\cos(x)\cdot \sin^{n-1}(x) + \int \cos(x)\cdot (n-1)\sin^{n-2}(x)\cos(x) ~ \dd x = -\cos(x)\cdot \sin^{n-1}(x) + (n-1)F_{n-2}(x) - (n-1)F_n(x) \end{eqnarray*}$

umgestellt

$\begin{eqnarray*} F_n(x) = \frac{1}{n}\left( -\cos(x)\cdot \sin^{n-1}(x) + (n-1)F_{n-2}(x) \right) \end{eqnarray*}$

mit Rekursionsstart $\begin{eqnarray*} F_0(x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_1(x)=-\cos(x) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Mborn
Wenn ich Aufgaben wie z.B Integriere 'cos^2(x)*sin^2(x)' habe ist der rechenaufwand zu große.

Vorab Additionstheoreme überlegt angewandt ist der Aufwand für dieses Beispiel gar nicht so groß:

$\begin{eqnarray*} \cos^2(x)\cdot \sin^2(x) = \frac{1}{4}\sin^2(2x) = \frac{1}{8}(1-\cos(4x)) \end{eqnarray*}$

das ergibt integriert

$\begin{eqnarray*} \int \cos^2(x)\cdot \sin^2(x) ~ \dd x = \frac{x}{8}-\frac{1}{32}\sin(4x) \end{eqnarray*}$ .

EDIT (11.1.): Klopf, klopf ... jemand zuhause? verwirrt

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